Найдите вероятность следующих событий, если из N изделий M имеют скрытый дефект и наугад выбрано n изделий: А. Среди

Vinni

43

Для решения этой задачи воспользуемся понятием вероятности. Дадим подробный ответ на каждый из пунктов задачи.

А. Чтобы найти вероятность того, что среди выбранных m изделий хотя бы одно изделие будет с дефектом, мы можем воспользоваться противоположным событием, то есть найти вероятность того, что ни одно из выбранных m изделий не будет иметь скрытого дефекта.

Если изначально имеется N изделий, из которых M имеют скрытый дефект, то вероятность выбрать изделие без дефекта равна (N - M)/N. Поскольку нам нужно выбрать m изделий без дефекта из m общего числа выбранных изделий, вероятность выбрать m изделий без дефекта будет равна:

\[
P = \left(\frac{{N - M}}{{N}}\right)^m
\]

Поскольку противоположное событие - это наличие хотя бы одного изделия со скрытым дефектом, мы можем найти вероятность этого события, вычтя вероятность противоположного события из 1:

\[
P = 1 - \left(\frac{{N - M}}{{N}}\right)^m
\]

B. В этом пункте мы должны найти вероятность того, что среди выбранных изделий хотя бы одно изделие будет иметь скрытый дефект, независимо от того, сколько изделий мы выбрали (n). Это означает, что мы должны рассмотреть все возможные комбинации выбора таких изделий и посчитать вероятность каждой из них, а затем сложить эти вероятности.

Для решения этой задачи нам понадобится понятие комбинаторики. Количество способов выбрать k изделий из n общего числа будет равно биномиальному коэффициенту \(C(n,k)\), который вычисляется по формуле:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Теперь мы можем выразить вероятность события B:

\[
P = 1 - \frac{{C(N-M, n)}}{{C(N, n)}}
\]

C. В этом пункте мы должны найти вероятность того, что среди выбранных изделий будет не более двух изделий со скрытыми дефектами. Для этого мы можем рассмотреть три возможных случая:

1. Ни одно из выбранных изделий не имеет скрытых дефектов;
2. Одно из выбранных изделий имеет скрытый дефект;
3. Два из выбранных изделий имеют скрытые дефекты.

Мы можем найти вероятность каждого из этих случаев и сложить их, чтобы получить общую вероятность.

1. Вероятность того, что ни одно из выбранных изделий не имеет дефектов, равна:

\[
P_1 = \left(\frac{{N-M}}{{N}}\right)^n
\]

2. Вероятность того, что ровно одно из выбранных изделий имеет дефект, равна:

\[
P_2 = n \cdot \left(\frac{{M}}{{N}}\right) \cdot \left(\frac{{N-M}}{{N}}\right)^{n-1}
\]

Здесь мы умножаем на n, так как выбор изделия со скрытым дефектом может произойти на любом месте среди выбранных изделий.

3. Вероятность того, что ровно два из выбранных изделий имеют дефект, равна:

\[
P_3 = C(n, 2) \cdot \left(\frac{{M}}{{N}}\right)^2 \cdot \left(\frac{{N-M}}{{N}}\right)^{n-2}
\]

Здесь мы используем биномиальный коэффициент \(C(n, 2)\), так как мы выбираем два изделия со скрытыми дефектами из выбранных n изделий.

Теперь мы можем сложить эти вероятности, чтобы получить общую вероятность события C:

\[
P = P_1 + P_2 + P_3
\]

Итак, мы рассмотрели все три пункта задачи и предоставили подробное объяснение для каждого из них. Надеюсь, это поможет вам понять, как найти вероятность данных событий. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!