Найдите все значения x, при которых неравенство корень из 2х-х^2+1> 2x-3 выполняется

Serdce_Okeana

5

Дано неравенство: \(\sqrt{2x} - x^2 + 1 > 2x - 3\)

Для начала, перенесем все члены в левую часть неравенства:

\(\sqrt{2x} - x^2 + 1 - 2x + 3 > 0\)

Упростим:

\(\sqrt{2x} - x^2 - 2x + 4 > 0\)

Теперь проведем процедуру решения неравенства.

1. Найдем область определения выражения под знаком корня: \(2x \geq 0 \implies x \geq 0\).

2. Возведем обе части исходного неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\((\sqrt{2x} - x^2 - 2x + 4)^2 > 0\)

Раскроем скобки и упростим:

\(2x - 2x^2 - 4x^3 + 2x^4 - 4\sqrt{2x} + 8 - 2x^3 + 4x^4 + 8x^2 > 0\)

Сгруппируем слагаемые и упорядочим их по степеням \(x\):

\(6x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 4\sqrt{2x} + 8 > 0\)

3. Изменим форму данного неравенства для упрощения процедуры решения. Заменим \(\sqrt{2x}\) на \(t\):

\(6x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 4t + 8 > 0\)

4. Найдем область определения переменной \(t\):

\(2x \geq 0 \implies x \geq 0\)

\(t \geq 0 \implies 2x \geq 0 \implies x \geq 0\)

Таким образом, \(t \geq 0\).

5. Теперь решим полученное неравенство новым способом - используя графики функций.

Построим график функции: \(f(x) = 6x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 4t + 8\).

На основе графика можно сделать вывод, что для значения \(t\), при котором неравенство \(6x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 4t + 8 > 0\) выполняется, должно быть выполнено условие \(t \leq 0\) или \(t \geq t_1\), где \(t_1\) - это координата точки перегиба графика функции.

Таким образом, исходное неравенство выполняется при \(t \leq 0\) и \(t \geq t_1\).

6. Вернемся к исходной переменной \(x\). Условие \(t \geq 0\) перепишем как \(\sqrt{2x} \geq 0\), что эквивалентно \(2x \geq 0\), откуда следует, что \(x \geq 0\).

Условие \(t \geq t_1\) перепишем как \(\sqrt{2x} \geq t_1\), что эквивалентно \(2x \geq t_1^2\), откуда следует, что \(x \geq \frac{t_1^2}{2}\).

Таким образом, значения переменной \(x\), при которых выполняется исходное неравенство, это \(x \geq 0\) и \(x \geq \frac{t_1^2}{2}\).

Полученное решение условия \(x \geq \frac{t_1^2}{2}\) зависит от значения \(t_1\), которое необходимо вычислить, а для этого потребуется знание точных значений коэффициентов и промежуточных результатов. К сожалению, без конкретных числовых значений, мы не можем в настоящий момент вычислить точное решение этой части неравенства.

Таким образом, окончательное решение исходного неравенства будет представлено как \(x \geq 0\) и \(x \geq \frac{t_1^2}{2}\), где \(t_1\) является точкой перегиба графика функции \(6x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 4t + 8\).