Найдите выражение вектора dm через вектора dc, da и ad, если точка m является серединой ребра bc тетраэдра dabc и

Veselyy_Kloun

14

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами середины отрезка и свойствами векторов.

По условию задачи точка m является серединой ребра bc тетраэдра dabc. Это означает, что вектор dm будет равен полусумме векторов dc и db:

\[
\overrightarrow{{dm}} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{{dc}} + \overrightarrow{{db}}\right)
\]

Теперь нам нужно выразить вектор db через векторы da и ad. Заметим, что вектор db можно представить как сумму векторов da и ab:

\[
\overrightarrow{{db}} = \overrightarrow{{da}} + \overrightarrow{{ab}}
\]

Однако, по условию задачи известно, что вектор am равен \(\frac{1}{3}\) вектора an. Это значит, что мы можем выразить вектор ab через векторы da и ad:

\[
\overrightarrow{{ab}} = \overrightarrow{{am}} + \overrightarrow{{mb}} = \frac{1}{3}\overrightarrow{{an}} + \overrightarrow{{mb}}
\]

Теперь, подставим выражение для вектора ab в выражение для вектора db:

\[
\overrightarrow{{db}} = \overrightarrow{{da}} + \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{{an}} + \overrightarrow{{mb}}\right)
\]

Мы уже нашли выражение для вектора dm через векторы dc, da и ad:

\[
\overrightarrow{{dm}} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{{dc}} + \overrightarrow{{db}}\right) = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{{dc}} + \overrightarrow{{da}} + \frac{1}{3}\overrightarrow{{an}} + \overrightarrow{{mb}}\right)
\]

Таким образом, выражение для вектора dm в зависимости от векторов dc, da и ad будет:

\[
\overrightarrow{{dm}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{{dc}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{{da}} + \frac{1}{6}\overrightarrow{{an}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{{mb}}
\]