Какова площадь многоугольника, образованного соединением последовательных точек (1,0), (1,1), (2,4), (1,3), (0,5

Petya

64

Чтобы найти площадь многоугольника, образованного данным набором точек на координатной плоскости, мы можем использовать метод геометрического разбиения на треугольники. Давайте разобьем данный многоугольник на несколько треугольников и найдем их площади, а затем сложим их вместе, чтобы получить итоговую площадь многоугольника.

Шаг 1: Нарисуем заданный многоугольник на координатной плоскости.

\[P_1(1,0)\]
\[P_2(1,1)\]
\[P_3(2,4)\]
\[P_4(1,3)\]
\[P_5(0,5)\]
\[P_6(0,2)\]

Шаг 2: Разобьем многоугольник на треугольники.

Мы можем видеть, что многоугольник можно разбить на три треугольника, а именно:
- Треугольник \(P_1P_2P_3\) с вершинами в точках \(P_1(1,0)\), \(P_2(1,1)\) и \(P_3(2,4)\).
- Треугольник \(P_1P_4P_3\) с вершинами в точках \(P_1(1,0)\), \(P_4(1,3)\) и \(P_3(2,4)\).
- Треугольник \(P_5P_4P_6\) с вершинами в точках \(P_5(0,5)\), \(P_4(1,3)\) и \(P_6(0,2)\).

Шаг 3: Найдем площади треугольников.

Для каждого треугольника воспользуемся формулой площади треугольника, которая составляет половину произведения длины основания и высоты треугольника.

a) Треугольник \(P_1P_2P_3\):

Основание треугольника \(P_1P_2P_3\) равно расстоянию между точками \(P_1(1,0)\) и \(P_3(2,4)\), то есть \(2-1 = 1\).

Высота треугольника \(P_1P_2P_3\) равна расстоянию от точки \(P_2(1,1)\) до прямой, проходящей через точки \(P_1(1,0)\) и \(P_3(2,4)\). Для нахождения этой высоты, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{{|Ax_0+By_0+C|}}{{\sqrt{A^2+B^2}}}\]

В нашем случае \(A = 4 - 0 = 4\), \(B = 1 - 1 = 0\) и \(C = -4\). Подставим значения в формулу:

\[d = \frac{{|4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 - 4|}}{{\sqrt{4^2 + 0^2}}} = \frac{0}{4} = 0\]

Так как высота равна нулю, площадь треугольника \(P_1P_2P_3\) равна нулю.

b) Треугольник \(P_1P_4P_3\):

Основание треугольника \(P_1P_4P_3\) равно расстоянию между точками \(P_1(1,0)\) и \(P_3(2,4)\), то есть \(2-1 = 1\).

Высота треугольника \(P_1P_4P_3\) равна расстоянию от точки \(P_4(1,3)\) до прямой, проходящей через точки \(P_1(1,0)\) и \(P_3(2,4)\). По аналогии с предыдущим треугольником, мы можем вычислить высоту:

\[d = \frac{{|4 \cdot 1 + 0 \cdot 3 - 4|}}{{\sqrt{4^2 + 0^2}}} = \frac{0}{4} = 0\]

Площадь треугольника \(P_1P_4P_3\) также равна нулю.

c) Треугольник \(P_5P_4P_6\):

Основание треугольника \(P_5P_4P_6\) равно расстоянию между точками \(P_5(0,5)\) и \(P_6(0,2)\), то есть \(5-2 = 3\).

Высота треугольника \(P_5P_4P_6\) равна расстоянию от точки \(P_4(1,3)\) до прямой, проходящей через точки \(P_5(0,5)\) и \(P_6(0,2)\). Найдем высоту:

\[d = \frac{{|3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 - 15|}}{{\sqrt{0^2 + 3^2}}} = \frac{15}{3} = 5\]

Площадь треугольника \(P_5P_4P_6\) равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2} = 7.5\]

Шаг 4: Сложим площади треугольников.

Площадь многоугольника, образованного соединением данных точек, равна сумме площадей треугольников:

\[S_{\text{многоугольника}} = S_{P_1P_2P_3} + S_{P_1P_4P_3} + S_{P_5P_4P_6} = 0 + 0 + 7.5 = 7.5\]

Таким образом, площадь данного многоугольника составляет 7.5 квадратных единиц.