Найдите высоту, опущенную на подошву равностороннего треугольника, если его ортогональная проекция представляет собой

Светлячок

11

Давайте начнем с изображения этой задачи. Мы имеем равносторонний треугольник ABC, где высота CD опущена на подошву AB. Пусть M будет серединой стороны AB, и пусть E будет проекцией точки C на сторону AB.

Согласно условию, ортогональная проекция треугольника ABC представляет собой прямоугольный треугольник DEF, где сторона DF равна 4 см. Кроме того, задача говорит нам, что боковой треугольник CDE является равнобедренным, и одна из его сторон является проекцией высоты. Пусть сторона CE равна h см.

Нам нужно найти высоту CD. Для этого давайте рассмотрим прямоугольный треугольник DEF. Известно, что сторона DF равна 4 см. Также нам дано, что треугольник CDE равнобедренный, поэтому стороны CE и DE равны.

Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику DEF, чтобы найти сторону DE. Она будет равна \(\sqrt{DF^2 - CE^2}\):

\[DE = \sqrt{4^2 - h^2} \, \text{см}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDM. Мы знаем, что его гипотенуза DM - это сторона треугольника ABC, равная \(2h\) см, так как это равносторонний треугольник. А катет CD - это высота, которую мы хотим найти.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[DM^2 = CD^2 + DE^2\]

Подставим значения \(DM = 2h\) и \(DE = \sqrt{4^2 - h^2}\) в это уравнение:

\[(2h)^2 = CD^2 + \left(\sqrt{4^2 - h^2}\right)^2\]

Упростим выражение:

\[4h^2 = CD^2 + 16 - h^2\]

Избавимся от скобок и перенесем все члены на одну сторону:

\[CD^2 = 4h^2 - h^2 + 16\]

\[CD^2 = 3h^2 + 16\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[CD = \sqrt{3h^2 + 16}\, \text{см}\]

Это и есть высота CD, опущенная на подошву равностороннего треугольника. Мы выразили ее через неизвестную \(h\), которая представляет собой длину стороны CE равнобедренного треугольника CDE.