What is the perimeter of parallelogram ABCD if BM=CD=4 cm, MD=5 cm, and angle AMB=60 degrees?

Zagadochnyy_Pesok

31

Дано, что \(BM = CD = 4\) см, \(MD = 5\) см, а угол \(AMB = 60^\circ\). Мы должны найти периметр параллелограмма ABCD.

Чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех сторон. Давайте разберемся, какие стороны входят в периметр параллелограмма ABCD.

Параллелограмм ABCD имеет две пары параллельных сторон. Значит, сторона AB имеет такую же длину, как и сторона CD, то есть 4 см. А сторона AD имеет такую же длину, как и сторона BC.

Теперь осталось найти длину стороны AD. Для этого вычислим длину стороны MD.

У нас есть треугольник MCD, и мы знаем, что \(CD = 4\) см и \(MD = 5\) см. Также у нас есть угол \(CMD\), который составляет 60 градусов.

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусами углов.

В данном случае мы знаем длины сторон \(CD\) и \(MD\) и угол \(CMD\), поэтому можем использовать теорему косинусов следующим образом:

\[\cos(CMD) = \frac{{MD^2 + CD^2 - CM^2}}{{2 \cdot MD \cdot CD}}\]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[\cos(60^\circ) = \frac{{5^2 + 4^2 - CM^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{{25 + 16 - CM^2}}{{40}}\]

Упрощаем уравнение:

\[20 = 41 - CM^2\]

\[CM^2 = 41 - 20\]

\[CM^2 = 21\]

\[CM = \sqrt{21}\] (поскольку длина стороны не может быть отрицательной, мы берем положительный корень из уравнения)

Теперь мы знаем длину стороны AD: \(AD = 2 \cdot CM = 2 \cdot \sqrt{21}\).

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD будет равен сумме длин всех его сторон:

\[AB + BC + CD + AD = 4 + 2 \cdot \sqrt{21} + 4 + 2 \cdot \sqrt{21} = 8 + 4 \cdot \sqrt{21} \approx 19.88\) см (округлено до двух знаков после запятой).

Итак, периметр параллелограмма ABCD составляет приблизительно 19.88 см.