Найдите значение координаты x для точки C, если CA равно CB, и известны координаты точек А(2;2), В(6;10) и С(х;0

Яхонт

51

Чтобы найти значение координаты x для точки C, при условии, что длины отрезков CA и CB равны, нам нужно использовать геометрический подход.

Сначала рассчитаем расстояние между точками A и B с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:
\[ AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \]
где (x1, y1) и (x2, y2) это координаты точек A и B соответственно.

Подставим известные значения координат точек A и B:
\[ AB = \sqrt{{(6 - 2)^2 + (10 - 2)^2}} = \sqrt{{4^2 + 8^2}} = \sqrt{{16 + 64}} = \sqrt{{80}} = 4\sqrt{{5}} \]

Так как длины отрезков CA и CB равны, AC = BC. Другими словами, расстояние между точками A и C должно быть равно расстоянию между точками B и C.

Используя это и нашу формулу расстояния, мы можем записать следующее равенство:
\[ AC = BC \]
\[ \sqrt{{(x - 2)^2 + (0 - 2)^2}} = \sqrt{{(x - 6)^2 + (0 - 10)^2}} \]

Подставим известные значения длин отрезков (4\(\sqrt{5}\)) в уравнение:
\[ \sqrt{{(x - 2)^2 + 4}} = 4\sqrt{5} \]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ (x - 2)^2 + 4 = (4\sqrt{5})^2 \]
\[ (x - 2)^2 + 4 = 16 \cdot 5 \]
\[ (x - 2)^2 + 4 = 80 \]

Раскроем скобки:
\[ x^2 - 4x + 4 + 4 = 80 \]
\[ x^2 - 4x + 8 = 80 \]

Перенесем все члены в одну сторону:
\[ x^2 - 4x - 72 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для этого, либо факторизацию. В данном случае, применим факторизацию:

\[ (x - 9)(x + 8) = 0 \]

Теперь мы имеем два возможных значения для x: x = 9 и x = -8. Но поскольку C имеет координату y = 0, x не может быть отрицательным, поэтому x = 9.

Таким образом, значение координаты x для точки C равно 9.