Найдите значение косинуса угла между векторами m = 2a - 3b и n = a + 2b, если длина вектора a равна 2, длина вектора

Сверкающий_Джентльмен_2686

23

Чтобы найти значение косинуса угла между векторами \(m\) и \(n\), мы сначала должны найти скалярное произведение этих векторов и затем разделить его на произведение длин этих векторов.

Итак, у нас есть два вектора:

\[m = 2a - 3b \quad \text{и} \quad n = a + 2b\]

Мы также знаем, что длина вектора \(a\) равна 2, длина вектора \(b\) равна \(\sqrt{3}\) и угол между векторами \(a\) и \(b\) равен \(x\).

Для начала найдем скалярное произведение векторов \(m\) и \(n\). Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. Имея выражения для векторов \(m\) и \(n\), мы можем записать:

\[m \cdot n = (2a - 3b) \cdot (a + 2b)\]

Раскроем скобки:

\[m \cdot n = 2a \cdot a + 2a \cdot 2b - 3b \cdot a - 3b \cdot 2b\]

Учитывая, что угол между векторами \(a\) и \(b\) равен \(x\), мы можем использовать свойства скалярного произведения, чтобы упростить это выражение. В частности:

\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(x)\]

Заменяем \(a \cdot b\):

\[m \cdot n = 2|a|^2 + 4|a||b|\cos(x) - 3|b||a|\cos(x) - 6|b|^2\]

Теперь заменяем длины векторов \(a\) и \(b\) значениями, которые нам даны:

\[m \cdot n = 2(2)^2 + 4(2)(\sqrt{3})\cos(x) - 3(\sqrt{3})(2)\cos(x) - 6(\sqrt{3})^2\]

Упрощаем выражение:

\[m \cdot n = 8 + 8\sqrt{3}\cos(x) - 6\sqrt{3}\cos(x) - 18\]

\[m \cdot n = 8\sqrt{3}\cos(x) - 10\sqrt{3} - 10\]

Теперь найдем произведение длин векторов \(m\) и \(n\):

\[|m|\cdot|n| = |2a - 3b| \cdot |a + 2b|\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{(2a - 3b)\cdot(2a - 3b)}\cdot\sqrt{(a + 2b)\cdot(a + 2b)}\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{(2a - 3b)^2}\cdot\sqrt{(a + 2b)^2}\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{(2a - 3b)^2\cdot(a + 2b)^2}\]

Будем раскрывать скобки и упрощать выражение:

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{4a^2 - 12ab + 9b^2}\cdot\sqrt{a^2 + 4ab + 4b^2}\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{(4a^2 - 12ab + 9b^2)(a^2 + 4ab + 4b^2)}\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{4a^4 + 16a^3b + 16a^2b^2 - 12a^3b - 48a^2b^2 - 48ab^3 + 9a^2b^2 + 36ab^3 + 36b^4}\]

Упрощаем дальше:

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{4a^4 + 4a^3b - 32a^2b^2 - 12a^3b + 45a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}\]

\[|m|\cdot|n| = \sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}\]

Теперь мы можем вычислить значение косинуса угла между векторами \(m\) и \(n\) путем деления скалярного произведения на произведение длин:

\[\cos(x) = \frac{m \cdot n}{|m|\cdot|n|}\]

Подставляем значения и вычисляем:

\[\cos(x) = \frac{8\sqrt{3}\cos(x) - 10\sqrt{3} - 10}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(\cos(x)\):

\[\cos(x) - \frac{8\sqrt{3}\cos(x)}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}} = - \frac{10\sqrt{3} + 10}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}\]

\[\left(1 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}\right)\cos(x) = - \frac{10\sqrt{3} + 10}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}\]

\[\cos(x) = \frac{- \frac{10\sqrt{3} + 10}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}}{1 - \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{4a^4 - 8a^3b + 13a^2b^2 + 72ab^3 + 36b^4}}}\]

Подставляем известные значения и вычисляем косинус угла \(x\) между векторами \(m\) и \(n\).