Найдите значение натурального числа n, при котором двоичная запись выражения [tex]2^{n+2} +4^{n} - 80[/tex] содержит

Chaynyy_Drakon

43

Конечно! Давайте решим эту задачу пошагово.

Задача состоит в том, чтобы найти значение натурального числа \(n\), при котором двоичная запись выражения \(2^{n+2} + 4^n - 80\) содержит 10 значащих нулей.

Давайте начнем с вычисления самого выражения. Мы начнем с вычисления каждого слагаемого по отдельности.

1. Первое слагаемое: \(2^{n+2}\)
Для упрощения выражения, вспомним, что \(2^{n+2} = 2^2 \cdot 2^n = 4 \cdot 2^n\)
Таким образом, первое слагаемое равно \(4 \cdot 2^n\).

2. Второе слагаемое: \(4^n\)

3. Третье слагаемое: -80

Теперь вычислим сумму слагаемых: \(4 \cdot 2^n + 4^n - 80\).

Теперь нам нужно найти значение \(n\), при котором двоичная запись этой суммы содержит 10 значащих нулей.

Чтобы решить эту задачу, мы можем разбить ее на следующие шаги:

Шаг 1: Разложение слагаемых

Для начала, разложим каждое слагаемое на множители:
\(4 \cdot 2^n = 2^2 \cdot 2^n = 2^{n+2}\)
\(4^n = (2^2)^n = 2^{2n}\)

Шаг 2: Сокращение и упрощение

Теперь мы можем упростить выражение, заменив \(4 \cdot 2^n\) и \(4^n\) на их эквиваленты из разложения:
\(2^{n+2} + 2^{2n} - 80\)

Шаг 3: Проверка наличия нулей в двоичной записи

Теперь мы можем проанализировать двоичную запись каждого слагаемого отдельно. Для этого обратимся к двоичным степеням числа 2:

\[
\begin{align*}
2^0 &= 1 \\
2^1 &= 10 \\
2^2 &= 100 \\
2^3 &= 1000 \\
2^4 &= 10000 \\
2^5 &= 100000 \\
2^6 &= 1000000 \\
2^7 &= 10000000 \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что каждая новая степень числа 2 добавляет 1 значащий ноль в двоичную запись.

Шаг 4: Поиск значения \(n\)

Теперь давайте проанализируем двоичную запись каждого слагаемого:
\(2^{n+2}\) содержит \(n+2\) значащих нулей.
\(2^{2n}\) содержит \(2n\) значащих нулей.

Исходя из факта, что общая сумма должна содержать ровно 10 значащих нулей, мы можем записать уравнение:
\(n+2 + 2n - 10 = 0\).

Шаг 5: Решение уравнения

Решим уравнение: \(3n - 8 = 0\)
\(3n = 8\)
\(n = \frac{8}{3}\)

Шаг 6: Проверка ответа

Так как нам было дано, что \(n\) должно быть натуральным числом, примем ближайшее целое число, которое меньше или равно \(8/3\) - это \(n = 2\).

Подставим \(n = 2\) в исходное выражение, чтобы убедиться, что оно содержит 10 значащих нулей:
\(2^{2+2} + 2^{2 \cdot 2} - 80 = 16 + 16 - 80 = -48\)

Как мы видим, данное выражение не содержит 10 значащих нулей. Значит, уравнение не имеет решений.

Поэтому, ответ на задачу: нет значения натурального числа \(n\), при котором двоичная запись данного выражения содержит 10 значащих нулей.