Найдите значение сопротивления R в последовательном RLC-контуре, если за один период свободных колебаний 1% от энергии

Изумруд

62

Отлично, давайте разберемся с этой задачей.

Мы имеем последовательный RLC-контур, в котором свободные колебания наблюдаются на протяжении одного периода. По условию задачи, 1% от энергии, запасенной в контуре к началу периода, переходит в тепло.

Для начала, нам понадобятся формулы, связанные с RLC-контуром.

1. Формула для энергии W в контуре:
\[ W = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CV^2 \]
где L - индуктивность, C - ёмкость, I - ток, V - напряжение.

2. Формула для периода \( T \) колебаний:
\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Для решения задачи, нам необходимо найти значение сопротивления R. Мы знаем, что 1% от энергии \( W \) переходит в тепло за один период колебаний.

Давайте составим уравнение, используя данные из задачи и выведенные формулы. Подставим формулу для энергии \( W \) в уравнение:

\[ \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{100}W \]

Так как в последовательном контуре справедливо соотношение:
\[ V = IR \]
получим:
\[ \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}C(I^2R^2) = \frac{1}{100}W \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CI^2R^2 = \frac{1}{100}W \]
\[ LI^2 + CI^2R^2 = \frac{1}{50}W \]

Мы знаем, что период колебаний \( T \) равен 1 секунде (так как задача говорит о "одном периоде свободных колебаний"). Подставим это значение в формулу для периода \( T \):
\[ 2\pi\sqrt{LC} = 1 \]
\[ \sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi} \]
\[ LC = \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 \]
\[ LC = \frac{1}{4\pi^2} \]

Теперь, мы можем подставить это значение обратно в уравнение, чтобы найти значение сопротивления R:
\[ \frac{1}{4\pi^2}I^2 + \frac{1}{2}CI^2R^2 = \frac{1}{50}W \]

Далее, мы можем выразить \( I^2 \) через \( W \) (подставив формулу для энергии \( W \)):
\[ \frac{1}{4\pi^2}I^2 + \frac{1}{2}CI^2R^2 = \frac{1}{50}\left(\frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}CV^2\right) \]

Теперь, мы можем выразить \( V^2 \) через \( I^2 \) (подставив формулу \( V = IR \)):
\[ \frac{1}{4\pi^2}I^2 + \frac{1}{2}CI^2R^2 = \frac{1}{50}\left(\frac{1}{2}LI^2 + \frac{1}{2}C(I^2R^2)\right) \]

Упростим это уравнение:
\[ \frac{1}{4\pi^2}I^2 + \frac{1}{2}CI^2R^2 = \frac{1}{100}LI^2 + \frac{1}{100}CI^2R^2 \]

Теперь, давайте соберем все элементы, содержащие \( I^2 \) и \( R^2 \) в одну часть уравнения:
\[ \frac{1}{4\pi^2}I^2 - \frac{1}{100}LI^2 + \left(\frac{1}{2}CI^2 - \frac{1}{100}CI^2\right)R^2 = 0 \]

Продолжим упрощать:
\[ \frac{1}{100}I^2 \left(\frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{100}L + \frac{1}{2}C - \frac{1}{100}C\right)R^2 = 0 \]

Соответственно:
\[ \left(\frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{100}L + \frac{1}{2}C - \frac{1}{100}C\right)R^2 = 0 \]

Упростим еще больше:
\[ \left(\frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{100}\cdot80\cdot10^{-3} + \frac{1}{2}80\cdot10^{-3} - \frac{1}{100}C\right)R^2 = 0 \]

А теперь можно найти значение сопротивления R:
\[ R = \sqrt{\frac{0}{\frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{100}\cdot80\cdot10^{-3} + \frac{1}{2}80\cdot10^{-3} - \frac{1}{100}C}} \]

Но заметим, что у нас в знаменателе 0, а это означает, что значений R в данном случае не существует. Получается, что задача имеет ошибку или некорректно сформулирована.