Найдите значение выражения 2tg(5п/2-a)/5ctg(a+5п), при a=5п/6

Цветочек

59

Хорошо, начнем! У нас есть выражение:

\[2\tan\left(\frac{5\pi}{2}-a\right) \div 5\cot(a+5\pi)\]

В данном случае нам дано значение \(a = \frac{5\pi}{6}\). Давайте подставим это значение и решим выражение по шагам.

1. Начнем с вычисления аргументов тангенса и котангенса:

\[\tan\left(\frac{5\pi}{2}-a\right) = \tan\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{5\pi}{6}\right)\]

\[\cot(a+5\pi) = \cot\left(\frac{5\pi}{6}+5\pi\right)\]

2. Раскроем аргументы тангенса и котангенса:

\(\frac{5\pi}{2}-\frac{5\pi}{6} = \frac{15\pi}{6}-\frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}\)

\(\frac{5\pi}{6}+5\pi = \frac{5\pi}{6}+\frac{30\pi}{6} = \frac{35\pi}{6}\)

3. Теперь найдем значения тангенса и котангенса:

\(\tan\left(\frac{5\pi}{2}-a\right) = \tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)\)

\(\cot(a+5\pi) = \cot\left(\frac{35\pi}{6}\right)\)

4. После этого найдем численные значения тангенса и котангенса.

Значение \(\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)\) равно \(\sqrt{3}\).

Значение \(\cot\left(\frac{35\pi}{6}\right)\) равно \(-\sqrt{3}\).

5. Теперь заменим значения в исходном выражении:

\[2\tan\left(\frac{5\pi}{2}-a\right) \div 5\cot(a+5\pi) = 2\cdot\sqrt{3} \div 5\cdot(-\sqrt{3})\]

6. Далее упростим выражение:

\[2\cdot\sqrt{3} \div 5\cdot(-\sqrt{3}) = \frac{2\cdot\sqrt{3}}{-5\cdot\sqrt{3}} = \frac{-2}{5}\]

Таким образом, значение выражения \(2\tan\left(\frac{5\pi}{2}-a\right) \div 5\cot(a+5\pi)\), при \(a = \frac{5\pi}{6}\), равно \(\frac{-2}{5}\).