Найдите значения sr, sq и угол альфа для окружности, у которой sn равно 4, sp равно 9 и sk равно

Солнечный_Смайл

44

Для решения данной задачи нам потребуется использовать теорему о перпендикулярности хорды и радиуса окружности.

Определение:
- sn, sp и sk - отрезки, соединяющие точки на окружности.
- sr - радиус окружности.
- sq - отрезок, соединяющий центр окружности с точкой пересечения sn и sp.
- альфа - угол между sn и sp.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник snq.
- Он является прямоугольным, так как sq является радиусом окружности, а sn и sp являются хордами, перпендикулярными радиусу окружности.
- sn и sp являются катетами этого треугольника.

Шаг 2: Используем теорему Пифагора для треугольника snq.
- По теореме Пифагора: \(sn^2 = sr^2 - sq^2\).

Шаг 3: Рассмотрим треугольник spq.
- Он является прямоугольным, так как sq является радиусом окружности, а sn и sp являются хордами, перпендикулярными радиусу окружности.
- sp и sk являются катетами этого треугольника.

Шаг 4: Используем теорему Пифагора для треугольника spq.
- По теореме Пифагора: \(sp^2 = sr^2 - sq^2\).

Шаг 5: Решим систему уравнений, состоящую из уравнений из шага 2 и шага 4.
- Подставим \(sr^2 - sq^2\) вместо \(sn^2\) в уравнение шага 4: \(sp^2 = sn^2 - sq^2 + sr^2 - sq^2\).
- Понимаем, что \(sp^2 + sq^2 = sk^2\) (так как sk - это катет прямоугольного треугольника spk). Подставим это равенство в систему уравнений.
- Получаем: \(sp^2 = sr^2 - sq^2 + sr^2 - (sk^2 - sq^2)\).
- Упростим: \(sp^2 = 2sr^2 - sk^2\).

Шаг 6: Используем полученное уравнение, чтобы найти значения sr, sq и угол альфа.
- Мы знаем, что sn = 4 и sp = 9, поэтому можем подставить эти значения в уравнение.
- Получаем: \(9^2 = 2sr^2 - sk^2\).
- Далее заменим sk на 7:
- \(81 = 2sr^2 - 49\).
- \(2sr^2 = 130\).
- \(sr^2 = 65\).
- \(sr = \sqrt{65}\).

Также мы можем найти значение sq, используя найденное значение sr:
- Из шага 2 мы знаем, что \(sn^2 = sr^2 - sq^2\).
- Подставляем известные значения: \(4^2 = \sqrt{65}^2 - sq^2\).
- \(16 = 65 - sq^2\).
- \(sq^2 = 65 - 16\).
- \(sq^2 = 49\).
- \(sq = 7\).

Наконец, найдем угол альфа:
- Угол альфа может быть найден, используя тригонометрические соотношения.
- Мы знаем, что \(\cos{\alpha} = \frac{sq}{sr}\).
- Подставим значения: \(\cos{\alpha} = \frac{7}{\sqrt{65}}\).
- Используя обратную функцию косинуса, найдем угол альфа: \(\alpha = \arccos{\frac{7}{\sqrt{65}}}\).

Таким образом, значения sr, sq и угла альфа для данной окружности будут:
- \(sr = \sqrt{65}\),
- \(sq = 7\),
- \(\alpha = \arccos{\frac{7}{\sqrt{65}}}\).