Найдите значения углов A и B треугольника ABC с прямым углом C, если cos A = 1/2. Также определите значения sin

Светлый_Ангел

23

Дана задача на нахождение значений углов треугольника ABC с прямым углом C, если \( \cos A = \frac{1}{2} \). Также необходимо определить значения \( \sin A \), \( \tan A \) и \( \cos B \).

Для начала, давайте воспользуемся основными свойствами тригонометрии. В треугольнике ABC с прямым углом C, углы A и B являются острыми углами треугольника.

Используя связь между косинусом и синусом противоположного угла в прямоугольном треугольнике, мы можем найти значение \( \sin A \):
\[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} \]

Подставив значение \( \cos A = \frac{1}{2} \), получаем:
\[ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Далее, чтобы найти значение \( \tan A \), воспользуемся связью между тангенсом и синусом:
\[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \]

Заменим значения \( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos A = \frac{1}{2} \):
\[ \tan A = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

Теперь перейдем к нахождению значения \( \cos B \). Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти значение угла B при помощи \( \cos \) функции:
\[ \cos B = \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, значения углов треугольника ABC равны:
\( A = \frac{\pi}{3} \) (60 градусов),
\( B = 2\pi - A = \frac{4\pi}{3} \) (120 градусов),
\( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
\( \tan A = \sqrt{3} \) и
\( \cos B = \frac{\sqrt{3}}{2} \).