Найти амплитуду и период колебаний бревна массы М, которое висит на двух шнурах длины l каждый и в торец бревна ударяет

Lapulya_5221

45

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Задача состоит в нахождении амплитуды и периода колебаний бревна массы \( М \), которое висит на двух шнурах длиной \( l \) каждый и в торец бревна ударяет и застревает пуля.

Для начала, давайте представим систему. Поскольку бревно висит на двух шнурах и после удара пулей оно начинает колебаться, можно сказать, что данная система является гармоническим осциллятором.

Амплитуда колебаний бревна будет равна максимальному смещению бревна от положения равновесия, когда оно находится в покое. Период колебаний - это время, за которое бревно делает одно полное колебание от одного края до другого и обратно.

Для решения этой задачи, воспользуемся формулами, связывающими амплитуду и период колебаний с параметрами системы - длиной шнура и массой бревна.

Формула для нахождения периода колебаний гармонического осциллятора с длиной шнура \( l \) выглядит следующим образом:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

где \( g \) - ускорение свободного падения.

Формула для нахождения периода колебаний гармонического осциллятора связанной системы шнуров с массой бревна \( M \) выглядит следующим образом:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2l}{g}\frac{1}{(1+\frac{m}{M})}} \]

где \( m \) - масса пули.

Теперь мы можем найти амплитуду колебаний бревна. Для этого воспользуемся формулой, где амплитуда \( A \) связана с максимальной кинетической энергией \( E_{kin} \) и потенциальной энергией \( E_{pot} \) бревна:

\[ A = \sqrt{\frac{2}{k}E_{kin}} \]

где \( k \) - коэффициент жесткости системы.

Коэффициент жесткости \( k \) можно найти, зная длину шнура \( l \) и массу бревна \( M \):

\[ k = \frac{Mg}{l} \]

Наконец, мы можем выразить амплитуду \( A \) через максимальную кинетическую энергию \( E_{kin} \):

\[ A = \sqrt{\frac{2}{\frac{Mg}{l}}E_{kin}} \]

Остается только найти максимальную кинетическую энергию \( E_{kin} \). Для этого мы можем воспользоваться законом сохранения энергии. Пуля поглощает всю начальную потенциальную энергию бревна и превращает ее в кинетическую энергию пули:

\[ E_{pot} = E_{kin} \]

\( E_{pot} = Mg \cdot A \), где \( M \) - масса бревна, \( g \) - ускорение свободного падения, а \( A \) - амплитуда колебаний.

Таким образом, максимальная кинетическая энергия будет равна:
\[ E_{kin} = Mg \cdot A \]

Подставив это значение в формулу для амплитуды, получим:

\[ A = \sqrt{\frac{2}{\frac{Mg}{l}}E_{kin}} = \sqrt{\frac{2}{\frac{Mg}{l}}(Mg \cdot A)} \]

Теперь нам остается только решить это уравнение относительно амплитуды \( A \). Запишем его в удобной форме:

\[ A^2 = \frac{2}{\frac{Mg}{l}}(Mg \cdot A) \]

Упростим его:

\[ A = \frac{2Mg}{\frac{Mg}{l}} \]

\[ A = 2l \]

Итак, мы получили, что амплитуда колебаний бревна равна \( 2l \), а период колебаний равен \( 2\pi\sqrt{\frac{2l}{g}\frac{1}{(1+\frac{m}{M})}} \).