Найти антипроизводную функции f(x) = x, график которой проходит через точку Р(3;5). a) Найти антипроизводную функции

Yarmarka_6414

37

Для начала найдем антипроизводную функции f(x) = x, график которой проходит через точку Р(3;5).

Антипроизводная функции f(x) есть функция F(x), такая что F"(x) = f(x). В данном случае функция f(x) = x, поэтому мы ищем такую функцию F(x), производная которой равна x.

Для нахождения антипроизводной функции f(x) = x мы найдем функцию F(x), применяя формулу интегрирования от x^n:

\[F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]

Где n - показатель степени (в нашем случае n = 1), C - константа интегрирования.

Применяя эту формулу, получаем:

\[F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C\]

Теперь найдем конкретное значение константы C, используя условие, что график функции f(x) проходит через точку P(3;5). Подставим x = 3 и F(x) = 5 в уравнение:

\[5 = \frac{3^2}{2} + C\]

Вычисляя это уравнение, получаем:

\[5 = \frac{9}{2} + C\]

\[C = 5 - \frac{9}{2} = \frac{10}{2} - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, антипроизводная функции f(x) = x, график которой проходит через точку P(3;5), имеет вид:

\[F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\]

Теперь перейдем к решению задач.

a) Найти антипроизводную функции f(x) = x^2 + 4, график которой проходит через точку P(3;5).

Аналогично предыдущей задаче, нам нужно найти функцию F(x), производная которой будет равна x^2 + 4. Используя формулу интегрирования, получаем:

\[F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C\]

Затем подставим значения точки P(3;5) в уравнение:

\[5 = \frac{3^3}{3} + C\]

\[5 = 9 + C\]

\[C = 5 - 9 = -4\]

Итак, антипроизводная функции f(x) = x^2 + 4, график которой проходит через точку P(3;5), будет иметь вид:

\[F(x) = \frac{x^3}{3} - 4\]

b) Найти антипроизводную функции f(x) = 2x^2 + 4, график которой проходит через точку P(3;5).

Применим формулу интегрирования:

\[F(x) = \frac{(2x^2)^{2+1}}{2+1} + C = \frac{2x^3}{3} + C\]

Подставим значения точки P(3;5):

\[5 = \frac{2(3)^3}{3} + C\]

\[5 = 18 + C\]

\[C = 5 - 18 = -13\]

Антипроизводная функции f(x) = 2x^2 + 4, график которой проходит через точку P(3;5), будет иметь вид:

\[F(x) = \frac{2x^3}{3} - 13\]

c) Найти антипроизводную функции f(x) = 4x^2 - 4, график которой проходит через точку P(3;5).

Аналогично предыдущим задачам:

\[F(x) = \frac{(4x^2)^{2+1}}{2+1} + C = \frac{4x^3}{3} + C\]

Подставим значения точки P(3;5):

\[5 = \frac{4(3)^3}{3} + C\]

\[5 = 36 + C\]

\[C = 5 - 36 = -31\]

Антипроизводная функции f(x) = 4x^2 - 4, график которой проходит через точку P(3;5), будет иметь вид:

\[F(x) = \frac{4x^3}{3} - 31\]

d) Найти антипроизводную функции f(x) = x^2 - 4, график которой проходит через точку P(3;5).

Аналогично предыдущим задачам:

\[F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C\]

Подставим значения точки P(3;5):

\[5 = \frac{3^3}{3} + C\]

\[5 = 9 + C\]

\[C = 5 - 9 = -4\]

Антипроизводная функции f(x) = x^2 - 4, график которой проходит через точку P(3;5), будет иметь вид:

\[F(x) = \frac{x^3}{3} - 4\]

Теперь перейдем к вычислению площади фигуры, ограниченной графиками y = 6x^2, y = 0; x = 1; x = 2.

Площадь фигуры между двумя графиками и осями координат можно вычислить при помощи интеграла определенного отрезка.

Для данной задачи нам необходимо найти интеграл от функции y = 6x^2 на отрезке от x = 1 до x = 2.

\[S = \int_{1}^{2} 6x^2 dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \left[\frac{6x^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{6(2)^3}{3} - \frac{6(1)^3}{3} = \frac{48}{3} - \frac{6}{3}\]

\[S = 16 - 2 = 14\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками у = 6x^2 и у = 0; x = 1; x = 2, равна 14.