Найти экстремумы функции z=f(x, y), где z=x^3+y^3-3xy

Янтарное

30

Хорошо! Давайте решим задачу поиска экстремумов функции \(z=f(x,y)=x^3+y^3-3xy\).

Шаг 1: Найдем частные производные функции \(f\) по переменным \(x\) и \(y\). Чтобы найти экстремумы, мы должны приравнять обе производные к нулю и решить получившуюся систему уравнений.

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 3x^2 - 3y\) - производная по переменной \(x\).

\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 3y^2 - 3x\) - производная по переменной \(y\).

Шаг 2: Приравняем обе производные к нулю и решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0 \\
3y^2 - 3x = 0
\end{cases}
\]

Шаг 3: Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения мы можем выразить \(x\) через \(y\):

\(3x^2 - 3y = 0\)

\(3x^2 = 3y\)

\(x^2 = y\)

\(x = \sqrt{y}\) или \(x = -\sqrt{y}\)

Подставим это во второе уравнение:

\(3y^2 - 3x = 0\)

\(3y^2 - 3\sqrt{y} = 0\) или \(3y^2 + 3\sqrt{y} = 0\)

Шаг 4: Получим квадратные уравнения и найдем значения переменных.

Из первого уравнения:

\(3y^2 - 3\sqrt{y} = 0\)

\(3y(y - \sqrt{y}) = 0\)

Из этого уравнения мы можем получить два возможных значения для \(y\):

\(y = 0\) или \(y = \sqrt{y}\)

Если \(y = 0\), то по первому уравнению получаем \(x = 0\).

Если \(y = \sqrt{y}\), то возведем обе части уравнения в квадрат:

\(y^2 = y\)

\(y^2 - y = 0\)

\(y(y - 1) = 0\)

Из этого уравнения получаем два возможных значения для \(y\):

\(y = 0\) или \(y = 1\)

Если \(y = 0\), то по первому уравнению получаем \(x = 0\).

Если \(y = 1\), то по первому уравнению получаем \(x = \sqrt{1} = 1\) и \(x = -\sqrt{1} = -1\).

Шаг 5: Подводим итоги.

Мы нашли несколько точек, где функция может достигать экстремумов:

1) Точка (0, 0)
2) Точка (1, 1)
3) Точка (-1, 1)

Для проверки, я предлагаю найти значения функции в этих точках и сравнить их с другими значениями функции в выбранных областях.