Найти начальную скорость и полное ускорение точки, движущейся по дуге, используя уравнение s = 0,1t^3 + 0,3t

Kiska

28

Данная задача требует определения начальной скорости и полного ускорения точки, движущейся по дуге. Мы можем использовать уравнение \(s = 0,1t^3 + 0,3t\), где \(s\) - путь, \(t\) - время, чтобы найти решение.

1. Найдем производную уравнения \(s\) по времени \(t\) для определения скорости точки:
\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(0,1t^3 + 0,3t)\]
Производная от \(t^3\) равна \(3t^2\), а производная от \(t\) равна 1. Следовательно, производная уравнения \(s\) равна:
\[\frac{ds}{dt} = 0,3t^2 + 0,3\]

2. Чтобы найти начальную скорость, мы должны подставить \(t = 0\) в производную уравнения \(s\):
\[\frac{ds}{dt}\bigg|_{t=0} = 0,3(0)^2 + 0,3\]
\[\frac{ds}{dt}\bigg|_{t=0} = 0,3 \quad \text{(м/с)}\]

3. Теперь найдем значение ускорения точки, используя вторую производную уравнения \(s\) по времени:
\[\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{d}{dt}(0,3t^2 + 0,3)\]
Производная от \(t^2\) равна \(2t\), а производная от константы равна 0. Поэтому вторая производная от \(s\) равна:
\[\frac{d^2s}{dt^2} = 0,6t\]

4. Чтобы найти полное ускорение через 2 секунды, мы должны подставить \(t = 2\) во вторую производную уравнения \(s\):
\[\frac{d^2s}{dt^2}\bigg|_{t=2} = 0,6(2)\]
\[\frac{d^2s}{dt^2}\bigg|_{t=2} = 1,2 \quad \text{(м/с}^2\text{)}\]

Итак, начальная скорость точки составит 0,3 м/с, а полное ускорение через 2 секунды составит 1,2 м/с².