На сколько процентов изменится ускорение свободного падения на поверхности Марса при уменьшении радиуса в 20%?

Львица_4731

31

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для ускорения свободного падения на поверхности планеты:

\[a = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

где \(a\) - ускорение свободного падения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(R\) - радиус планеты.

Мы знаем, что ускорение свободного падения на Марсе равно 3,7 м/с². Для Марса массу и радиус мы заменять не будем, так как нам нужно найти изменение ускорения при изменении радиуса.

Пусть первоначальный радиус Марса равен \(R_1\), а новый радиус - \(R_2\). Тогда у нас имеем следующую зависимость:

\[a_1 = \frac{{G \cdot M}}{{R_1^2}} \quad \text{(1)}\]
\[a_2 = \frac{{G \cdot M}}{{R_2^2}} \quad \text{(2)}\]

После этого вводим изменение радиуса процентами: \(R_2 = R_1 - 0,2 \cdot R_1\), где 0,2 - это 20% в десятичном представлении.

Подставим \(R_2\) в формулу (2) и запишем ускорение после изменения радиуса:

\[a_2 = \frac{{G \cdot M}}{{(R_1 - 0,2 \cdot R_1)^2}} \quad \text{(3)}\]

Теперь мы можем найти изменение ускорения, выразив его в процентах:

\[\text{Изменение \%} = \frac{{a_2 - a_1}}{{a_1}} \cdot 100\% \quad \text{(4)}\]

Подставим значения \(a_1 = 3,7\) м/с² и \(a_2\) (подставим выражение из формулы (3)) в формулу (4):

\[\text{Изменение \%} = \frac{{\frac{{G \cdot M}}{{(R_1 - 0,2 \cdot R_1)^2}} - 3,7}}{{3,7}} \cdot 100\% \quad \text{(5)}\]

Получившееся выражение (5) даст нам значение изменения ускорения в процентах при уменьшении радиуса Марса на 20%.

Осталось только произвести расчеты, подставив числовые значения в формулу и округлить результат до десятых. Я оставлю это вам в качестве практического упражнения.