Найти площадь правильного треугольника и правильного шестиугольника, которые вписаны в одну окружность, если радиус

Bulka

70

два.

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства правильных многоугольников, а также формулы для нахождения площади треугольника и шестиугольника.

Начнем с треугольника, который вписан в окружность. Пусть \(R\) - радиус вписанной окружности, а \(S\) - площадь треугольника. Нам известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен половине длины стороны треугольника. Таким образом, в нашем случае радиус вписанной окружности треугольника будет равен \(\sqrt{2}\).

Теперь применим формулу для площади равностороннего треугольника: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\), где \(a\) - длина стороны треугольника. По свойствам правильного треугольника, все стороны и углы равны друг другу, поэтому длина любой из сторон будет равна \(\sqrt{2}\). Подставим это значение в формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, с радиусом вписанной окружности, равным \(\sqrt{2}\), будет равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Перейдем теперь к шестиугольнику, вписанному в ту же окружность. Пусть \(S_{\text{ш}}\) - площадь шестиугольника. По свойствам правильных многоугольников, площадь шестиугольника равна 6 разам площади равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность.

Таким образом, площадь шестиугольника будет равна:

\[S_{\text{ш}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[S_{\text{ш}} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь правильного треугольника, вписанного в окружность с радиусом \(\sqrt{2}\), составляет \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а площадь правильного шестиугольника, также вписанного в эту окружность, равна \(3\sqrt{3}\).