Хорошо, я помогу вам с этим. Для расчета производной в заданной точке нам потребуется использовать дифференцирование.
Для начала, давайте разберемся, что такое производная. В математике производная функции в заданной точке показывает скорость изменения значения этой функции в данной точке. Она обозначается как \(\frac{{df}}{{dx}}\) или как \(f"(x)\).
Для нахождения производной в заданной точке, мы будем использовать правило дифференцирования, которое говорит нам, что производная функции в заданной точке равна пределу отношения изменения значения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю. Формула для этого правила выглядит следующим образом:
Теперь, когда мы знаем формулу, давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция \(f(x) = x^2+3x\), и нам нужно найти производную в точке \(x = 2\).
Шаг 1: Подставляем значение \(x = 2\) в функцию и находим \(f(2)\):
\[f(2) = (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10\]
Шаг 2: Подставляем значения \(x = 2\) и \(f(2) = 10\) в формулу производной:
Смешарик 39
Хорошо, я помогу вам с этим. Для расчета производной в заданной точке нам потребуется использовать дифференцирование.Для начала, давайте разберемся, что такое производная. В математике производная функции в заданной точке показывает скорость изменения значения этой функции в данной точке. Она обозначается как \(\frac{{df}}{{dx}}\) или как \(f"(x)\).
Для нахождения производной в заданной точке, мы будем использовать правило дифференцирования, которое говорит нам, что производная функции в заданной точке равна пределу отношения изменения значения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю. Формула для этого правила выглядит следующим образом:
\[f"(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h)-f(x)}}{{h}}\]
Теперь, когда мы знаем формулу, давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция \(f(x) = x^2+3x\), и нам нужно найти производную в точке \(x = 2\).
Шаг 1: Подставляем значение \(x = 2\) в функцию и находим \(f(2)\):
\[f(2) = (2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10\]
Шаг 2: Подставляем значения \(x = 2\) и \(f(2) = 10\) в формулу производной:
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(2+h)-f(2)}}{{h}}\]
Шаг 3: Заменяем \(f(2+h)\) в формуле на \(f(x)\) и \(x\) на \(2+h\):
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(2+h)-10}}{{h}}\]
Шаг 4: Используем функцию \(f(x) = x^2+3x\) и раскрываем скобки:
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(2+h)^2+3(2+h)-10}}{{h}}\]
Шаг 5: Выполняем алгебраические операции:
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4+4h+h^2+6+3h-10}}{{h}}\]
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{h^2+7h}}{{h}}\]
\[f"(2) = \lim_{{h \to 0}} (h+7)\]
\[f"(2) = 0+7\]
\[f"(2) = 7\]
Таким образом, производная функции \(f(x) = x^2+3x\) в точке \(x = 2\) равна \(7\).