Найти расстояние от точки B до плоскости α (A∈α), если длина наклонной равна 12см и угол между наклонной и плоскостью

Magicheskiy_Samuray

6

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и геометрии. Давайте разберем ее пошагово.

1. Визуализируем первоначальные данные:
- Длина наклонной равна 12 см.
- Угол между наклонной и плоскостью составляет 30°.

2. Определим, какие элементы задачи соответствуют нам известным величинам и обозначим их:
- Длина наклонной – это сторона прямоугольного треугольника, обозначим ее как гипотенузу с буквой c (c = 12 см).
- Угол между наклонной и плоскостью – это угол между гипотенузой и плоскостью, обозначим его как угол А (угол A = 30°).

3. Выпишем известные нам формулы, чтобы найти расстояние от точки B до плоскости:
- Мы можем использовать теорему косинусов, так как у нас есть длина гипотенузы и угол между наклонной и плоскостью.
- Формула теоремы косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(A)\), где a и b - это длины других двух сторон прямоугольного треугольника (противолежащие углу А).

4. Найдем значение стороны прямоугольного треугольника a и b:
- Так как a и b - это две противолежащие углу А стороны, то мы можем использовать формулу синуса: \(\sin(A) = \frac{a}{c}\) => \(a = c \cdot \sin(A)\).
- Подставим значения в формулу: \(a = 12 \cdot \sin(30°)\) => \(a = 12 \cdot 0.5\) => \(a = 6\) см.
- Аналогично, \(b\) также будет равно 6 см.

5. Подставим значения сторон прямоугольного треугольника в формулу теоремы косинусов, чтобы найти расстояние от точки B до плоскости:
- \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(A)\).
- Подставим значения: \(12^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(30°)\).
- Рассчитаем значение выражения: \(144 = 36 + 36 - 72 \cdot \cos(30°)\).
- Далее упростим: \(144 = 72 - 72 \cdot \cos(30°)\).
- Используя тригонометрическую таблицу, найдем значение \(\cos(30°)\), которое равно \(\sqrt{3}/2\).
- Подставим это значение: \(144 = 72 - 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Упростим: \(144 = 72 - 36 \sqrt{3}\).
- Теперь решим это уравнение: \(36 \sqrt{3} = 72 - 144\) => \(36 \sqrt{3} = -72\).
- Разделим обе части уравнения на 36: \(\sqrt{3} = -2\).
- Так как корень не может быть отрицательным, мы понимаем, что задача не имеет решения.

В итоге, расстояние от точки B до плоскости \(\alpha\) равно \(-\sqrt{3}\) см.