Найти силу, совершившую работу при перемещении единичной массы, если F(x)=6x^2+4x-2 на интервале [-1;2

Мишка

26

Для того чтобы найти силу, совершившую работу при перемещении единичной массы на интервале [-1;2], необходимо вычислить работу, совершенную силой \(F(x)\) на данном интервале.

Формула для вычисления работы при постоянной силе \(F\) при смещении \(x\) задана как работа \(W = F \cdot \Delta x\), где \(\Delta x\) - перемещение.

Чтобы найти работу при переменной силе, необходимо воспользоваться определенным интегралом: \[W = \int_{a}^{b} F(x) dx\], где \(a\) и \(b\) - пределы интегрирования.

Итак, у нас дана функция силы \(F(x) = 6x^2 + 4x - 2\) на интервале [-1;2]. Для нахождения работы при перемещении единичной массы, нужно вычислить определенный интеграл данной функции на заданном интервале.

\[
W = \int_{-1}^{2} (6x^2 + 4x - 2) dx
\]

Вычислим интеграл. Первообразная для функции \(6x^2\) равна \(2x^3\), для функции \(4x\) равна \(2x^2\), а для константы -x:
\[
W = \left[ 2x^3 + 2x^2 - 2x \right]_{-1}^{2}
\]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
\[
W = \left[ 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 \right] - \left[ 2 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) \right]
\]

\[
W = \left[ 16 + 8 - 4 \right] - \left[ -2 + 2 + 2 \right]
\]

\[
W = 20 - 2 = 18
\]

Итак, сила, совершившая работу при перемещении единичной массы на интервале [-1;2], равна 18.