Найти угол между диагоналями параллелограмма, созданного на векторах а и б, где |а| = 1, |б| = 3, и угол между а

Морозная_Роза

65

Хорошо, давайте решим задачу. Перед тем, как найти угол между диагоналями параллелограмма, давайте вспомним основные свойства параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Мы можем использовать эти свойства, чтобы решить задачу.

Начнем с построения параллелограмма на векторах а и б. Параллелограмм можно построить, используя векторное произведение или сумму векторов.

Для начала найдем сумму векторов а и б:
\[
в = а + б
\]

Так как |а| = 1 и |б| = 3, то мы можем записать уравнение:
\[
в = (1, 0) + (3, 0) = (4, 0)
\]

Теперь найдем разность векторов а и б:
\[
с = а - б
\]

Тогда у нас будет:
\[
с = (1, 0) - (3, 0) = (-2, 0)
\]

Теперь у нас есть две диагонали параллелограмма: вектор в = (4, 0) и вектор с = (-2, 0).

Для нахождения угла между диагоналями воспользуемся формулой косинуса. Косинус угла между двумя векторами можно найти по следующей формуле:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{c}}}{{|\vec{v}| \cdot |\vec{c}|}}
\]

Где \(\vec{v} \cdot \vec{c}\) обозначает скалярное произведение векторов v и с, а |\vec{v}| и |\vec{c}| обозначают их длины.

Для нашей задачи мы имеем:
\[
\vec{v} = (4, 0), \quad \vec{c} = (-2, 0)
\]

Теперь найдем скалярное произведение и длины векторов:
\[
\vec{v} \cdot \vec{c} = 4 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = -8
\]
\[
|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4
\]
\[
|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2
\]

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти косинус угла между диагоналями:
\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{c}}}{{|\vec{v}| \cdot |\vec{c}|}} = \frac{{-8}}{{4 \cdot 2}} = \frac{{-8}}{{8}} = -1
\]

Таким образом, косинус угла между диагоналями параллелограмма равен -1. Известно, что значение косинуса в диапазоне от -1 до 1, поэтому это возможное решение.

Угол между диагоналями параллелограмма можно найти с помощью обратной функции косинуса, или арккосинуса. Найдем арккосинус -1:
\[
\theta = \arccos(-1) = \pi
\]

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен \(\pi\) радиан, или 180 градусов.

Таким образом, мы нашли угол между диагоналями параллелограмма, созданного на векторах а и б. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!