Найти уравнение плоскости, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки A и B, и является

Летучий_Мыш

40

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к этому отрезку, мы можем использовать следующий подход.

Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка AB.
Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем воспользоваться формулами средних значений для каждой координаты:
\[x_m = \frac{{x_A + x_B}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_A + y_B}}{2}\]
\[z_m = \frac{{z_A + z_B}}{2}\]

Дано: A(2, -1, 4) и B(0, 3, -2)
Применяя формулы средних значений, получаем:
\[x_m = \frac{{2 + 0}}{2} = 1\]
\[y_m = \frac{{-1 + 3}}{2} = 1\]
\[z_m = \frac{{4 + (-2)}}{2} = 1\]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны M(1, 1, 1).

Шаг 2: Найдем вектор, перпендикулярный отрезку AB.
Чтобы найти вектор, перпендикулярный отрезку AB, мы можем вычислить разность координат между точками A и B и взять этот вектор в качестве нормали плоскости.

Дано: A(2, -1, 4) и B(0, 3, -2)
Вычислим разность координат:
\[\Delta x = 0 - 2 = -2\]
\[\Delta y = 3 - (-1) = 4\]
\[\Delta z = -2 - 4 = -6\]

Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) равен \(\vec{AB} = (-2, 4, -6)\).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости с использованием найденных данных.
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве может быть записано в виде:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]
где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а D - постоянное значение.

Мы уже знаем нормальный вектор \(\vec{AB} = (-2, 4, -6)\).
Теперь нам нужно найти постоянное значение D. Для этого мы можем использовать координаты точки M, через которую проходит плоскость.

Подставим координаты точки M(1, 1, 1) и вектор \(\vec{AB}\) в уравнение плоскости:
\[-2 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + -6 \cdot 1 + D = 0\]

Вычисляем:
\[-2 + 4 - 6 + D = 0\]
\[D = 4\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к отрезку, будет:
\[-2x + 4y - 6z + 4 = 0\]

Вот и получили искомое уравнение плоскости.