Найти вектор АВ, если АВСD – параллелограмм и его длина равна

Zagadochnyy_Kot_8853

47

Для начала, давайте разберемся с понятием параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Дано, что АВСD - параллелограмм. Для решения задачи нам необходимо найти вектор АВ.

Вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением. Его обозначают либо стрелкой над названием вектора, либо заглавной буквой с надстрочным стрелочкой (например, \(\vec{AB}\) или \(\overrightarrow{AB}\)).

Длину вектора можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Для нашей задачи нам известно, что длина параллелограмма равна некоторому числу, но это число в самой задаче не указано. Поэтому для решения мы просто обозначим его как \(x\).

Получили, что длина вектора АВ равна \(x\).

Также нам известно, что АВСD - параллелограмм. Значит, сторона СD будет параллельна стороне AB и равна ей по длине. То есть \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\).

Значит, чтобы найти вектор АВ, нам необходимо найти вектор CD.

Поскольку АС и ВD - это противоположные стороны параллелограмма, то вектор \(\overrightarrow{CD}\) равен разности векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\):

\[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}
\]

Так как нам дан параллелограмм, то сторона СD будет также параллельна стороне AB. Из этого следует, что \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) будут коллинеарны, то есть лежать на одной прямой. Это означает, что можно выразить вектор \(\overrightarrow{AC}\) через вектор \(\overrightarrow{AB}\), умножив его на некоторое число.

Поэтому, чтобы найти вектор \(\overrightarrow{AC}\), можно использовать следующее равенство:

\(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\)

где \(k\) - это коэффициент, который мы должны найти.

Теперь давайте вспомним, что сторона CD параллельна стороне AB и равна ей по длине. Это означает, что вектор \(\overrightarrow{CD}\) может быть также выражен через вектор \(\overrightarrow{AB}\), умножив его на некоторое число. Таким образом, у нас имеется следующее равенство:

\(\overrightarrow{CD} = m \cdot \overrightarrow{AB}\)

где \(m\) - это коэффициент, который также должны найти.

Теперь у нас есть два уравнения:
1) \(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\)
2) \(\overrightarrow{CD} = m \cdot \overrightarrow{AB}\)

Мы знаем, что векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны друг другу:

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}\)

Поэтому можем приравнять выражения для векторов:

\(k \cdot \overrightarrow{AB} = m \cdot \overrightarrow{AB}\)

Так как вектор \(\overrightarrow{AB}\) не является нулевым вектором, то можем сократить его:

\(k = m\)

Это означает, что коэффициенты \(k\) и \(m\) равны между собой. То есть, чтобы получить векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\), мы должны использовать одну и ту же длину вектора \(\overrightarrow{AB}\).

Таким образом, вектор АВ равен вектору СD и имеет длину \(x\). Вектор АВ можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}\)

С учетом равенства \(k = m\) это можно записать как:

\(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AB} + k \cdot \overrightarrow{AB}\)

Таким образом, вектор АВ равен вектору СD, умноженному на 2:

\(\overrightarrow{AB} = 2 \cdot \overrightarrow{CD}\)

Итак, вектор АВ равен вектору СD, умноженному на 2, и имеет длину \(x\).

Надеюсь, эта подробная разборка помогла вам понять, как найти вектор АВ при условии, что АВСD - параллелограмм с известной длиной.