Найти значение An4, если пятый член разложения (3√x +1/x) n не зависит

Moroznyy_Voin

6

Хорошо! Для решения данной задачи мы должны сначала разобраться, что означает "пятый член разложения (3√x +1/x) n не зависит", а затем найти значение \(A_{n4}\).

Чтобы найти \(A_{n4}\), нам нужно знать формулу для \(n\)-го члена в общем виде. Для этого нам пригодится биномиальная теорема. Она гласит, что для положительного целого \(n\) и любых чисел \(a\) и \(b\) верно следующее:

\[(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n} a^0 b^n\]

Где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В нашем случае формула будет выглядеть следующим образом, вместо \(a\) мы подставим \(3\sqrt{x}\), а вместо \(b\) - \(\frac{1}{x}\):

\[(3\sqrt{x} + \frac{1}{x})^n = \binom{n}{0} (3\sqrt{x})^n (\frac{1}{x})^0 + \binom{n}{1} (3\sqrt{x})^{n-1} (\frac{1}{x})^1 + \ldots + \binom{n}{n} (3\sqrt{x})^0 (\frac{1}{x})^n\]

Выбирая из всей суммы члены, содержащие только \(3\sqrt{x}\) и \(\frac{1}{x}\), мы должны найти тот, который соответствует пятому члену разложения, но не зависит от \(n\).

Посмотрим на общий член разложения:

\[\binom{n}{k} (3\sqrt{x})^{n-k} (\frac{1}{x})^k\]

Чтобы пятый член не зависел от \(n\), необходимо, чтобы степень \(3\sqrt{x}\) равнялась четырем, а степень \(\frac{1}{x}\) равнялась нулю. Таким образом, мы должны найти значение \(k\), удовлетворяющее этим условиям.

Уравнение \(n - k = 4\) позволяет нам найти значение \(k\):

\[k = n - 4\]

Теперь, чтобы степень \(\frac{1}{x}\) равнялась нулю, у нас должно быть \(k = 0\). Подставим это условие в уравнение, чтобы найти значение \(n\):

\[n - 4 = 0\]
\[n = 4\]

Таким образом, мы получаем, что пятый член разложения не зависит от \(n\) только в случае, когда \(n = 4\).

Теперь, используя значение \(n = 4\), мы можем найти значение \(A_{n4}\).

Подставляем полученное значение \(n\) в формулу для общего члена разложения:

\[\binom{4}{k} (3\sqrt{x})^{4-k} (\frac{1}{x})^k\]

Так как \(k\) должно быть равно нулю для пятого члена, мы можем записать:

\[\binom{4}{0} (3\sqrt{x})^{4-0} (\frac{1}{x})^0\]

С учетом того, что \(\binom{4}{0} = 1\), получаем:

\[(3\sqrt{x})^4 = 81x^2\]

Таким образом, \(A_{n4} = 81x^2\).

Итак, мы решив задачу, нашли, что \(A_{n4} = 81x^2\), если пятый член разложения (3√x +1/x) n не зависит от \(n\).