Найти значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD, если даны две смежные вершины

Геннадий_79

36

Давайте рассмотрим задачу подробно. Мы должны найти значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD. Для этого нам понадобится информация о вершинах ABCD и точке пересечения диагоналей M.

Исходя из заданных данных, мы имеем следующую информацию:
Вершина A(-1;-4;7)
Вершина B(1;3;5)
Точка пересечения диагоналей M(3;-2;1)

Для нахождения вектора одной из сторон параллелограмма, мы можем использовать точки A и B. Вектор AB будет равен разности координат точек B и A:
\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)

\(\vec{AB} = (1;3;5) - (-1;-4;7) = (2;7;-2)\)

Аналогично, для нахождения вектора другой смежной стороны параллелограмма, мы можем использовать точки A и M. Вектор AM будет равен разности координат точек M и A:
\(\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A}\)

\(\vec{AM} = (3;-2;1) - (-1;-4;7) = (4;2;-6)\)

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
\(\cos(\theta) = \frac{{\vec{AB} \cdot \vec{AM}}}{{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AM}|}}\)

где \(\theta\) - острый угол между смежными сторонами параллелограмма, \(\vec{AB} \cdot \vec{AM}\) - скалярное произведение векторов, \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{AM}|\) - длины векторов.

Для нахождения скалярного произведения используем формулу:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AM} = (2;7;-2) \cdot (4;2;-6)\)

\(\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 2 \cdot 4 + 7 \cdot 2 + (-2) \cdot (-6) = 8 + 14 + 12 = 34\)

Для нахождения длин векторов используем формулу:
\( |\vec{AB}| = \sqrt{(2^2 + 7^2 + (-2)^2)} = \sqrt{4 + 49 + 4} = \sqrt{57} \)
\( |\vec{AM}| = \sqrt{(4^2 + 2^2 + (-6)^2)} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} \)

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для косинуса и вычислить его значение:
\(\cos(\theta) = \frac{{34}}{{\sqrt{57} \cdot \sqrt{56}}}\)

\(\cos(\theta) \approx 0.702\)

Таким образом, значение косинуса острого угла между смежными сторонами параллелограмма ABCD составляет около 0.702 (округлено до трех знаков после запятой).