Каково объяснение перпендикулярности прямых и плоскостей?

Yantar

63

Перпендикулярные прямые и плоскости — это две геометрические фигуры, которые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90 градусов. Это значит, что они встречаются так, что их стороны образуют прямой угол.

Давайте рассмотрим, как определить перпендикулярность прямых на примере двух прямых, заданных уравнениями.

Пусть даны два уравнения прямых: \(y = mx + b_1\) и \(y = mx + b_2\), где \(m\) - наклон прямой, а \(b_1\) и \(b_2\) - значения смещения (точек пересечения с осью ординат).

Чтобы установить, перпендикулярны ли эти прямые, нужно проверить значение их наклонов. Если у двух прямых наклоны взаимно противоположны и обратно пропорциональны (т.е. их произведение равно -1), то они перпендикулярны.

Поэтому, если \(m_1 \cdot m_2 = -1\), то прямые перпендикулярны.

Теперь рассмотрим перпендикулярность плоскостей. Пусть даны два уравнения плоскостей: \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\) и \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) - коэффициенты уравнения плоскости, а \(D_1\) и \(D_2\) - значения смещения плоскостей относительно начала координат.

Для определения перпендикулярности плоскостей нам понадобится нормальный вектор каждой плоскости. Нормальный вектор плоскости задает ее ориентацию и перпендикулярен всем векторам, лежащим в этой плоскости. Для получения нормального вектора плоскости, возьмем коэффициенты \(A\), \(B\) и \(C\) из уравнения плоскости.

Проверим, перпендикулярны ли плоскости по их нормальным векторам. Если нормальные вектора плоскостей взаимно противоположны и обратно пропорциональны (т.е. их скалярное произведение равно -1), то плоскости перпендикулярны.

Таким образом, если векторное произведение нормальных векторов плоскостей равно \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = -1\), то плоскости перпендикулярны.

И это, в общих чертах, объясняет, что такое перпендикулярность прямых и плоскостей.