Найти значение тангенса угла T прямоугольного треугольника TSA с прямым углом A, если известно, что AT равно 10

Yupiter_7568

31

Чтобы найти значение тангенса угла T в данном прямоугольном треугольнике, нам понадобятся две стороны треугольника: AT и TS.

Из задачи указано, что AT равно 10 и TS равно неизвестное значение.

Для начала, давайте воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В данном случае гипотенуза - это сторона TS, а катеты - это стороны AT и AS (где S - вершина противолежащая прямому углу A).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
\[TS^2 = AT^2 + AS^2\]
Также, мы можем заметить, что AS является высотой треугольника, проведенной из вершины S к гипотенузе TS. Учитывая, что прямоугольный треугольник TSA имеет прямой угол A, то угол T является острый угол, и следовательно, AS является катетом.

Зная все это, мы можем записать уравнение следующим образом:
\[TS^2 = AT^2 + AS^2 \Rightarrow AS^2 = TS^2 - AT^2\]

Теперь, чтобы найти значение тангенса угла T, нам нужно выразить AS через известные значения и применить определение тангенса. Тангенс угла T определяется как отношение противолежащего катета (AS) к прилежащему катету (AT).

Таким образом,
\[\tan(T) = \frac{AS}{AT}\]

Используя уравнение для AS, мы можем записать:
\[\tan(T) = \frac{\sqrt{TS^2 - AT^2}}{AT}\]

Теперь, если мы подставим известные значения TS = 15 и AT = 10 в это уравнение, мы сможем вычислить тангенс угла T.

\[\tan(T) = \frac{\sqrt{15^2 - 10^2}}{10}\]
\[\tan(T) = \frac{\sqrt{225 - 100}}{10}\]
\[\tan(T) = \frac{\sqrt{125}}{10}\]
\[\tan(T) = \frac{5\sqrt{5}}{10}\]
\[\tan(T) = \frac{\sqrt{5}}{2}\]

Таким образом, значение тангенса угла T в данном прямоугольном треугольнике равно \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).