Найти значения координат точек эллипса x2/16 + y2/7 = 1, которые находятся на одинаковом расстоянии от левого фокуса

Печка

68

Чтобы найти значения координат точек эллипса, которые находятся на одинаковом расстоянии от левого фокуса, мы можем воспользоваться свойствами эллипса.

Эллипс определяется уравнением \( \frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1 \), где \( a \) и \( b \) - полуоси эллипса.

Известно, что расстояние между фокусами эллипса равно \( c \), где \( c^2 = a^2 - b^2 \).

В данном случае у нас уравнение эллипса \( \frac{{x^2}}{16} + \frac{{y^2}}{7} = 1 \), поэтому у нас \( a^2 = 16 \) и \( b^2 = 7 \).

Используя формулу \( c^2 = a^2 - b^2 \), мы можем найти значение \( c \).

\[ c^2 = 16 - 7 = 9 \]

Теперь у нас есть значение \( c \), которое равно 3. Это расстояние между фокусами эллипса.

Для того чтобы найти точки на эллипсе, которые находятся на одинаковом расстоянии от левого фокуса, мы можем нарисовать две окружности радиусом \( c \) с центрами в фокусах.

Центр левого фокуса находится в точке (-3, 0), так как он находится на оси \( x \) на отрицательном значении \( c \).

Теперь мы рисуем окружность радиусом 3 с центром в точке (-3, 0). Эта окружность пересечется с эллипсом в двух точках.

Для того чтобы найти координаты этих точек, мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения эллипса и уравнения окружности.

Сначала подставим уравнение окружности в уравнение эллипса:

\[ \left( \frac{{x-(-3)}}{3} \right)^2 + \left( \frac{{y-0}}{3} \right)^2 = 1 \]

Упростим его:

\[ \left( \frac{{x+3}}{3} \right)^2 + \left( \frac{y}{3} \right)^2 = 1 \]

Теперь подставим это уравнение в уравнение эллипса:

\[ \frac{{x^2}}{16} + \frac{{y^2}}{7} = \left( \frac{{x+3}}{3} \right)^2 + \left( \frac{y}{3} \right)^2 \]

Упростим это уравнение:

\[ 9x^2 + 16y^2 = 144 \]

Теперь решим это уравнение для \( x \) и \( y \).

Перенесем все члены уравнения влево:

\[ 9x^2 + 16y^2 - 144 = 0 \]

Уравнение получилось в квадратичной форме. Мы можем применить метод факторизации или использовать формулу дискриминанта для нахождения корней этого уравнения.

Наше уравнение также можно записать в виде:

\[ \left( \frac{{x-(-3)}}{3} \right)^2 + \left( \frac{y}{3} \right)^2 - 1 = 0 \]

Это уравнение описывает эллипс с центром в точке (-3, 0) и полуосями, равными 3 и 3/4.

Таким образом, точки на эллипсе, которые находятся на одинаковом расстоянии от левого фокуса, будут лежать на окружности радиусом 3 с центром в точке (-3, 0).