Подсчитайте площадь сечения сферы, определенной уравнением x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11, плоскостью x=4, и площадь

Zvezdopad_Shaman

1

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам нужно пошагово разобраться в том, как найти площадь сечения сферы и площадь поверхности сферы.
1. Вначале найдем уравнение сечения. Для этого подставим значение x=4 в уравнение сферы и упростим его. У нас есть уравнение сферы x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11 и плоскость x=4. Заменяя x на 4 в уравнении сферы, мы получаем следующее уравнение: 4^2 + y^2 + z^2 - 2(4) + 6y - 4z = 11, что приводит нас к уравнению 16 + y^2 + z^2 - 8 + 6y - 4z = 11.

2. Далее, упростим это уравнение и приведем его к каноническому виду. Получаем y^2 + z^2 + 6y - 4z = 3.

3. Теперь попробуем представить это уравнение в круговом виде. Для этого добавим и вычтем константы, чтобы разделить квадратичные члены. Наше уравнение примет следующий вид:
(y^2 + 6y + 9) + (z^2 - 4z + 4) = 3 + 9 + 4.

4. После этого упростим уравнение. Получаем (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 16.

5. Заметим, что это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (-3, 2) и радиусом 4.

6. Теперь мы можем найти площадь сечения сферы, которое будет равно площади этой окружности. Формула площади окружности: \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус, который у нас равен 4.

7. Подставим значения в формулу и найдем площадь окружности: \(S = \pi \cdot 4^2 = \pi \cdot 16 = 16\pi\).

8. Затем найдем площадь поверхности сферы. Формула площади поверхности сферы: \(S = 4\pi r^2\), где \(r\) - радиус, тот же 4.

9. Подставим значения в формулу и найдем площадь поверхности сферы: \(S = 4\pi \cdot 4^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi\).

Таким образом, площадь сечения сферы равна \(16\pi\) квадратных единиц, а площадь поверхности сферы равна \(64\pi\) квадратных единиц.