Необходимо доказать, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом. Найти длины векторов

Сабина

30

Чтобы доказать, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом, мы должны выполнить две вещи:

1. Показать, что противоположные стороны параллельны.
2. Показать, что противоположные стороны равны.

По определению параллелограмма, противоположные стороны должны быть параллельными и равными.

Для начала найдем векторы AB и CD. Формула для вычисления вектора получается путем вычитания координат одного конца вектора из координат другого конца вектора.

\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
\(\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}\)

Теперь найдем векторы BC и AD.
\(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}\)
\(\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}\)

Далее, чтобы показать, что противоположные стороны параллельны, мы должны показать, что векторы AB и CD, а также BC и AD, параллельны.

Когда векторы параллельны, их координаты должны пропорциональны друг другу. Это означает, что если мы разделим координаты одного вектора на координаты другого вектора, то получим одинаковые коэффициенты для каждой координаты.

Таким образом, для доказательства параллельности векторов, мы должны проверить, что \(\frac{{\vec{AB}_x}}{{\vec{CD}_x}} = \frac{{\vec{AB}_y}}{{\vec{CD}_y}}\) и \(\frac{{\vec{BC}_x}}{{\vec{AD}_x}} = \frac{{\vec{BC}_y}}{{\vec{AD}_y}}\).

Теперь рассмотрим противоположные стороны на равенство. Для этого мы должны проверить, что длины векторов AB и CD, а также BC и AD, равны.

Формула для вычисления длины вектора использует теорему Пифагора:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(\vec{AB}_x)^2 + (\vec{AB}_y)^2}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{(\vec{CD}_x)^2 + (\vec{CD}_y)^2}\)

\(|\vec{BC}| = \sqrt{(\vec{BC}_x)^2 + (\vec{BC}_y)^2}\)
\(|\vec{AD}| = \sqrt{(\vec{AD}_x)^2 + (\vec{AD}_y)^2}\)

Если мы установим, что все пары противоположных сторон параллельны и равны, то можем сделать вывод, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом.

Таким образом, для доказательства этого факта, необходимо рассчитать векторы и их длины, а также проверить условия параллельности и равенства для всех четырех сторон.