Необходимо доказать, что плоскость, проходящая через точки c, m и k, делит отрезок so в отношении 3:2, при условии

Зимний_Вечер

18

Для начала давайте определим, что означает отношение 3:2. Это значит, что отношение длин отрезков so и om равно 3:2. Обозначим длину отрезка so как x и длину отрезка om как y.

Из условия задачи, плоскость проходит через точки c, m и k. Пусть точка s - вершина отрезка so. Проведем плоскость, проходящую через точки c, m и k.

Итак, у нас есть треугольник com, в котором точка s является вершиной. Наша задача - доказать, что отрезок so делится плоскостью на две части в отношении 3:2.

Для начала, найдем координаты точек c, m, k. Допустим, что точка c имеет координаты (x1, y1, z1), точка m - (x2, y2, z2), и точка k - (x3, y3, z3).

Рассматривая пространственные координаты, уравнение плоскости, проходящей через три точки, записывается как:

\((x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (y - y1)(z2 - z1)(x3 - x1) + (z - z1)(x2 - x1)(y3 - y1) = (z - z1)(y2 - y1)(x3 - x1) + (x - x1)(z2 - z1)(y3 - y1) + (y - y1)(x2 - x1)(z3 - z1) \)

Таким образом, у нас есть уравнение плоскости, проходящей через точки c, m и k. Теперь обозначим координаты точки o как (x0, y0, z0).

Заметим, что чтобы найти точки s и o, нам нужна пропорциональность между отрезками os и om, которая дана как 3:2. Мы можем использовать эту пропорциональность, чтобы составить уравнение.

Расстояние между точками можно найти по формуле:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\)

Давайте найдем расстояния между точками s и o, а также между точками o и m.

Расстояние между точками s и o:

\(d_{so} = \sqrt{{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2 + (z_0 - z)^2}}\)

Расстояние между точками o и m:

\(d_{om} = \sqrt{{(x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 + (z_2 - z)^2}}\)

Теперь у нас есть выражения для расстояний \(d_{so}\) и \(d_{om}\). Мы также знаем, что отношение длин отрезков so и om равно 3:2, то есть \(\frac{{d_{so}}}{{d_{om}}} = \frac{3}{2}\).

Подставим значения расстояний в это соотношение:

\(\frac{{\sqrt{{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2 + (z_0 - z)^2}}}}{{\sqrt{{(x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 + (z_2 - z)^2}}}}} = \frac{3}{2}\)

Далее, возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня:

\(\frac{{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2 + (z_0 - z)^2}}{{(x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 + (z_2 - z)^2}}} = \frac{9}{4}\)

Далее, раскроем скобки в числителе:

\( \frac{{x_0^2 - 2x_0x + x^2 + y_0^2 - 2y_0y + y^2 + z_0^2 - 2z_0z + z^2}}{{(x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 + (z_2 - z)^2}}} = \frac{9}{4}\)

Затем умножим обе части уравнения на знаменатель в левой части:

\(4(x_0^2 - 2x_0x + x^2 + y_0^2 - 2y_0y + y^2 + z_0^2 - 2z_0z + z^2) = 9((x_2 - x)^2 + (y_2 - y)^2 + (z_2 - z)^2)\)

Теперь раскроем скобки:

\(4x_0^2 - 8x_0x + 4x^2 + 4y_0^2 - 8y_0y + 4y^2 + 4z_0^2 - 8z_0z + 4z^2 = 9(x_2^2 - 2x_2x + x^2 + y_2^2 - 2y_2y + y^2 + z_2^2 - 2z_2z + z^2)\)

Далее, сгруппируем переменные:

\((4x_0^2 + 4y_0^2 + 4z_0^2) - 8x_0x - 8y_0y - 8z_0z + 4(x^2 + y^2 + z^2) = 9(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) - 18(x_2x + y_2y + z_2z) + 9(x^2 + y^2 + z^2)\)

Теперь можем упростить:

\(4(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2x_0x - 2y_0y - 2z_0z + x^2 + y^2 + z^2) = 9(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - 2x_2x - 2y_2y - 2z_2z + x^2 + y^2 + z^2)\)

Заметьте, что \(x^2 + y^2 + z^2\) и \(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2\) встречаются в обеих частях уравнения. Также у нас есть выражение \(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2x_0x - 2y_0y - 2z_0z\).

Обозначим \(A = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2x_0x - 2y_0y - 2z_0z\). Тогда наше уравнение принимает вид:

\(4A = 9(x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 - 2x_2x - 2y_2y - 2z_2z + x^2 + y^2 + z^2)\)

Дальше заметим, что \(x_2, y_2, z_2\) это координаты точки m, а \(x, y, z\) - координаты точки s.

\(\Rightarrow 4A = 9(\text{{длина отрезка om}}^2 + \text{{длина отрезка sm}}^2)\)

Нам осталось найти выражение для длины отрезка om и длины отрезка sm.

Длину отрезка om мы ранее обозначили как y. Длину отрезка sm также обозначим как t. Таким образом, \(d_{om} = y\) и \(d_{sm} = t\).

Теперь обратимся к расстояниям между точками. Заметим, что точка m - это середина отрезка ck. Обозначим координаты точки c как (x1, y1, z1) и точки k как (x3, y3, z3).

Расстояние между точками c и k:

\(d = \sqrt{{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 + (z_3 - z_1)^2}}\)

Так как точка m является серединой отрезка ck, то ее координаты можно получить, как средние значения координат точек c и k:

\(x_2 = \frac{{x_1 + x_3}}{2}\)

\(y_2 = \frac{{y_1 + y_3}}{2}\)

\(z_2 = \frac{{z_1 + z_3}}{2}\)

Теперь, заменим \(x_2\), \(y_2\), \(z_2\) в нашем уравнении:

\(4A = 9(\frac{{(x_1 + x_3)^2 + (y_1 + y_3)^2 + (z_1 + z_3)^2}}{4} - 2x_2x - 2y_2y - 2z_2z + x^2 + y^2 + z^2)\)

\(4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - 2x_2x - 2y_2y - 2z_2z + x^2 + y^2 + z^2)\)

\(4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - \frac{{(x_1 + x_3)x}}{2} - \frac{{(y_1 + y_3)y}}{2} - \frac{{(z_1 + z_3)z}}{2} + x^2 + y^2 + z^2)\)

Далее, раскроем скобки:

\( 4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - \frac{{x_1x + x_3x}}{2} - \frac{{y_1y + y_3y}}{2} - \frac{{z_1z + z_3z}}{2} + x^2 + y^2 + z^2)\)

Используя формулы расстояний, найденные ранее, можем записать:

\( 4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - \frac{{x(x_2 - x)}}{2} - \frac{{y(y_2 - y)}}{2} - \frac{{z(z_2 - z)}}{2} + x^2 + y^2 + z^2)\)

\( 4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - \frac{{x(x_2 - x)}}{2} - \frac{{y(y_2 - y)}}{2} - \frac{{z(z_2 - z)}}{2} + x^2 + y^2 + z^2)\)

Упростим уравнение:

\(4A = 9(\frac{{x_1^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + y_1^2 + y_3^2 + 2y_1y_3 + z_1^2 + z_3^2 + 2z_1z_3}}{4} - \frac{{x_2x - x^2}}{2} - \frac{{y_2y - y^2}}{2} - \frac{{z_2z - z^2}}{2} + x^2 + y^2 + z^2)\)

Теперь, упростив числитель и объединив элементы, получим:

\(4A = x_1x_3 + y_1y_3 + z_1z_3 - x_2x + x^2 - y_2y + y^2 - z_2z + z^2)\)

Вернемся к исходному вопросу. Мы хотим доказать, что плоскость, проходящая через точки c, m и k, делит отрезок so в отношении 3:2.

Пусть точка o - это точка пересечения плоскости и отрезка sm.

Таким образом, мы можем выразить \(x_2, y_2, z_2\) через \(x, y, z\):

\(x_2 = \frac{{x_1 + x_3}}{2}\)

\(y_2 = \frac{{y_1 + y_3}}{2}\)

\(z_2 = \frac{{z_1 + z_3}}{2}\)

Теперь наше уравнение принимает вид:

\(4A = x_1x_3 + y_1y_3 + z_1z_3 - (\frac{{x_1 + x_3}}{2})x + x^2 - (\frac{{y_1 + y_3}}{2})y + y^2 - (\frac{{z_1 + z_3}}{2})z + z^2)\)

Нам осталось только показать, что уравнение \(4A = 0\) выполняется. Если это так, то плоскость проходит через точки c, m и k и делит отр