Необходимо доказать, что последовательность an=3n2-17n+1 является увеличивающейся

Евгений

1

Чтобы доказать, что последовательность \(a_n = 3n^2 - 17n + 1\) является увеличивающейся, нам необходимо показать, что каждый следующий элемент последовательности \(a_{n+1}\) больше предыдущего \(a_n\) для всех возможных значений \(n\).

Давайте приступим к доказательству. Первым шагом, давайте найдем выражение для \(a_{n+1}\):

\[a_{n+1} = 3(n+1)^2 - 17(n+1) + 1\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[a_{n+1} = 3(n^2 + 2n + 1) - 17n - 17 + 1\]
\[a_{n+1} = 3n^2 + 6n + 3 - 17n - 17 + 1\]
\[a_{n+1} = 3n^2 - 11n - 13\]

Теперь у нас есть выражение для \(a_{n+1}\). Давайте сравним его с \(a_n\):

\[(a_{n+1} - a_n) = (3n^2 - 11n - 13) - (3n^2 - 17n + 1)\]
\[(a_{n+1} - a_n) = 3n^2 - 11n - 13 - 3n^2 + 17n - 1\]
\[(a_{n+1} - a_n) = 6n + 14\]

Теперь давайте проанализируем знак выражения \(a_{n+1} - a_n\). Для этого нам нужно решить неравенство:

\[(a_{n+1} - a_n) > 0\]
\[6n + 14 > 0\]

Вычислим неравенство:

\[6n > -14\]
\[n > -\frac{14}{6}\]
\[n > -\frac{7}{3}\]

Итак, мы видим, что выражение \(6n + 14\) будет положительным для всех значений \(n\) больше, чем \(-\frac{7}{3}\). Это означает, что разность \(a_{n+1} - a_n\) всегда положительна, а значит, последовательность \(a_n\) является увеличивающейся.

Таким образом, мы доказали, что последовательность \(a_n = 3n^2 - 17n + 1\) является увеличивающейся для всех целых значений \(n\).