Необходимо доказать, что последовательность an=3n2-17n+1 является увеличивающейся

Евгений

1

Чтобы доказать, что последовательность $a_n=3n^2-17n+1$ является увеличивающейся, нам необходимо показать, что каждый следующий элемент последовательности $a_{n+1}$ больше предыдущего $a_n$ для всех возможных значений $n$.

Давайте приступим к доказательству. Первым шагом, давайте найдем выражение для $a_{n+1}$:

$$a_{n+1}=3(n+1{)}^2-17(n+1)+1$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$a_{n+1}=3(n^2+2n+1)-17n-17+1$$
$$a_{n+1}=3n^2+6n+3-17n-17+1$$
$$a_{n+1}=3n^2-11n-13$$

Теперь у нас есть выражение для $a_{n+1}$. Давайте сравним его с $a_n$:

$$(a_{n+1}-a_n)=(3n^2-11n-13)-(3n^2-17n+1)$$
$$(a_{n+1}-a_n)=3n^2-11n-13-3n^2+17n-1$$
$$(a_{n+1}-a_n)=6n+14$$

Теперь давайте проанализируем знак выражения $a_{n+1}-a_n$. Для этого нам нужно решить неравенство:

$$(a_{n+1}-a_n)>0$$
$$6n+14>0$$

Вычислим неравенство:

$$6n>-14$$
$$n>-\frac{14}{6}$$
$$n>-\frac{7}{3}$$

Итак, мы видим, что выражение $6n+14$ будет положительным для всех значений $n$ больше, чем $-\frac{7}{3}$. Это означает, что разность $a_{n+1}-a_n$ всегда положительна, а значит, последовательность $a_n$ является увеличивающейся.

Таким образом, мы доказали, что последовательность $a_n=3n^2-17n+1$ является увеличивающейся для всех целых значений $n$.