Необходимо доказать, что СВ1=С1В для треугольников ABC и AB1C1, которые имеют общую медиану

Pechenye

6

Для доказательства того, что \(СВ_1=С_1В\) для треугольников \(ABC\) и \(AB_1C_1\), которые имеют общую медиану, воспользуемся свойствами треугольников и медиан.

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Пусть \(М\) - середина стороны \(АС\) и середина стороны \(АС_1\).

Мы знаем, что медиана делит каждую сторону треугольника на две равные части. Это свойство медианы называется свойством разделения медианы и внутренними секущими в пропорциях.

Таким образом, мы можем сделать следующее предположение: \(СВ_1\) и \(С_1В\) делятся медианой \(М\) (как показано на рисунке, где \(M\) - середина стороны \(АС\)). Рассмотрим отрезки \(СМ\) и \(МВ_1\).

\[
\overline{CМ}:\overline{МВ_1} = \overline{СВ}:\overline{ВВ_1}
\]

Теперь рассмотрим треугольники \(АВС\) и \(АB_1С_1\). Они имеют одну общую сторону \(АС\), поэтому мы можем применить свойство параллелограмма для этого треугольника, которое гласит, что если прямая делит две стороны треугольника одинаково, то эта прямая параллельна третьей стороне и делит ее также на две равные части.

Таким образом, мы можем сделать следующее предположение:
\[
\overline{CМ} = \overline{МВ_1}
\]

Теперь, сравнивая два предположения, мы приходим к заключению, что отрезки \(СВ_1\) и \(С_1В\) равны между собой:
\[
\overline{CМ}:\overline{МВ_1} = \overline{СВ}:\overline{ВВ_1} \quad \text{и} \quad \overline{CМ} = \overline{МВ_1}
\]

Следовательно, мы доказали, что \(СВ_1 = С_1В\) для треугольников \(ABC\) и \(AB_1C_1\), имеющих общую медиану.