Необходимо доказать, что векторы AC, BD и A1B1 являются компланарными для параллелограммов ABCD и A1B1CD

Sverkayuschiy_Gnom

45

Для доказательства компланарности векторов AC, BD и A1B1 для параллелограммов ABCD и A1B1CD, мы должны показать, что эти векторы лежат на одной плоскости.

Давайте начнем с параллелограмма ABCD. Вектор AC представляет собой вектор, направленный от точки A до точки C. Вектор BD представляет собой вектор, направленный от точки B до точки D. Обратите внимание, что вектор AC и вектор BD - это диагонали параллелограмма, а диагонали параллелограмма всегда пересекаются в одной точке (в данном случае точка O).

Пусть вектор OX будет представлять вектор, направленный из точки O до точки X (X - любая точка на плоскости). Мы можем представить вектор AC в виде суммы двух векторов: OA и OC. Аналогично, вектор BD можно представить в виде суммы двух векторов: OB и OD.

Теперь рассмотрим параллелограмм A1B1CD. Вектор A1B1 представляет собой вектор, направленный от точки A1 до точки B1. Еще раз, положим, что вектор OY представляет вектор, направленный из точки O до точки Y (Y - любая точка на плоскости). Мы также можем представить вектор A1B1 в виде суммы двух векторов: OA1 и OB1.

Теперь мы должны показать, что векторы AC, BD и A1B1 лежат на одной плоскости, то есть на плоскости, содержащей точки O, X и Y. Для этого нам нужно показать, что все три вектора AC, BD и A1B1 являются линейно зависимыми, то есть один вектор может быть представлен в виде линейной комбинации других двух векторов.

Давайте рассмотрим вектор AC. Как мы уже упоминали, вектор AC можно представить в виде суммы векторов OA и OC:

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\]

Аналогично, вектор BD можно записать как сумму векторов OB и OD:

\[\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\]

Также вектор A1B1 можно записать как сумму векторов OA1 и OB1:

\[\overrightarrow{A1B1} = \overrightarrow{OA1} + \overrightarrow{OB1}\]

Теперь мы видим, что вектор AC и вектор BD представлены в виде суммы одних и тех же векторов (OA и OC для AC, OB и OD для BD), а вектор A1B1 представлен в виде суммы тех же векторов (OA1 и OB1).

Таким образом, мы можем сказать, что векторы AC, BD и A1B1 являются линейно зависимыми, так как каждый из них может быть представлен в виде линейной комбинации других двух векторов.

Так как эти векторы линейно зависимы, значит они лежат на одной плоскости, проходящей через точки O, X и Y. Следовательно, мы доказали, что векторы AC, BD и A1B1 являются компланарными для параллелограммов ABCD и A1B1CD.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, почему векторы AC, BD и A1B1 являются компланарными. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.