Необходимо доказать, что значение данного выражения (a^2.5+a^1.5/1+a):1-a^3/1-a^1.5 не изменяется в зависимости

Чернышка

57

Для начала, разделим числитель выражения на знаменатель:
\[
\frac{{a^{2.5}+a^{1.5}}}{{1+a}}:\frac{{1-a^{3}}}{{1-a^{1.5}}}
\]

Для удобства, давайте разобьем это выражение на несколько частей и рассмотрим каждую из них отдельно.

Первая часть:
\[
\frac{{a^{2.5}+a^{1.5}}}{{1+a}}
\]

Мы можем заметить, что числитель — это сумма двух слагаемых, содержащих степени переменной \(a\). С помощью свойства сложения степеней одинакового основания, можем записать это так:
\[
\frac{{a^{2.5}+a^{1.5}}}{{1+a}} = \frac{{a^{1.5} \cdot a + a^{1.5}}}{{1+a}} = \frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}}
\]

Вторая часть:
\[
\frac{{1-a^{3}}}{{1-a^{1.5}}}
\]

Аналогично предыдущей части, числитель можно записать следующим образом:
\[
1 - a^{3} = 1 - a^{1.5} \cdot a^{1.5} = 1 - a^{1.5}(a^{1.5})
\]

Теперь, вернемся к исходному выражению:
\[
\frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}}:\frac{{1-a^{1.5}(a^{1.5})}}{{1-a^{1.5}}}
\]

Мы можем заметить, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \(1-a^{1.5}\). Можно сократить этот множитель:
\[
\frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}}:\frac{{1-a^{1.5}(a^{1.5})}}{{1-a^{1.5}}} = \frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}(a^{1.5})}}
\]

Теперь, раскроем скобки в знаменателе дроби второй части:
\[
\frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}(a^{1.5})}} = \frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{1.5} \cdot a^{1.5}}}
\]

Мы можем заметить, что в знаменателе дроби второй части величина \(a^{1.5} \cdot a^{1.5}\) равна \(a^{3}\). Подставим это значение:
\[
\frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{1.5} \cdot a^{1.5}}} = \frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{3}}}
\]

Теперь мы можем заметить, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \(1+a\). Можно сократить этот множитель:
\[
\frac{{a^{1.5}(a+1)}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{3}}} = a^{1.5} \cdot \frac{{a+1}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{3}}}
\]

Теперь оценим этот результат. Мы можем заметить, что \(a^{1.5}\) и \(1-a^{1.5}\) являются равными числителем и знаменателем дроби в первой части и второй части. Предлагаю заменить это выражение \(k = \frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}}}\). Тогда, исходное выражение можно переписать следующим образом:
\[
a^{1.5} \cdot \frac{{a+1}}{{1+a}} \cdot \frac{{1-a^{1.5}}}{{1-a^{3}}} = a^{1.5} \cdot \frac{{k \cdot (1-a^{1.5})}}{{1-a^{3}}}
\]

Заменим выражение \(k\) на \(\frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}}}\):
\[
a^{1.5} \cdot \frac{{k \cdot (1-a^{1.5})}}{{1-a^{3}}} = a^{1.5} \cdot \frac{{\frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}}} \cdot (1-a^{1.5})}}{{1-a^{3}}}
\]

Мы можем заметить, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \((1-a^{1.5})\). Можно сократить этот множитель:
\[
a^{1.5} \cdot \frac{{\frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{1.5}}} \cdot (1-a^{1.5})}}{{1-a^{3}}} = a^{1.5} \cdot \frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{3}}}
\]

Теперь, заметим, что \(\frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{3}}}\) является значением начального выражения. Подставим это значение обратно и упростим получившееся выражение:
\[
a^{1.5} \cdot \frac{{a^{1.5}}}{{1-a^{3}}} = \frac{{a^{1.5} \cdot a^{1.5}}}{{1-a^{3}}} = \frac{{a^{1.5+1.5}}}{{1-a^{3}}} = \frac{{a^{3}}}{{1-a^{3}}}
\]

Таким образом, мы доказали, что значение данного выражения \(a^{1.5} \cdot \frac{{a^{3}}}{{1-a^{3}}}\) не изменяется в зависимости от значения переменной \(a\).