Какая часть боковой поверхности отсеченного конуса относится к боковой поверхности усеченного конуса, если плоскость

Baronessa

8

Для начала давайте разберемся, что такое отсеченный и усеченный конусы.

Отсеченный конус - это конус, у которого часть верхушки отрезана параллельно основанию. Таким образом, отсеченный конус имеет две основания - большее основание и меньшее основание, а также боковую поверхность, которая окружает его.

Усеченный конус - это конус, у которого вершина и боковая поверхность отсечены параллельно основанию. Таким образом, у усеченного конуса также есть два основания - большее основание и меньшее основание.

Теперь приступим к решению задачи. Нам нужно найти отношение части боковой поверхности отсеченного конуса к боковой поверхности усеченного конуса.

По условию задачи, плоскость, которая отделяет вертикальную высоту конуса, делит ее в отношении 5:6, считая от вершины. Давайте обозначим высоту отсеченного конуса как \(h\).

Таким образом, высота усеченного конуса будет равна \(\frac{6}{11}h\) (так как 5:6 это то же самое, что и \(\frac{5}{11}:\frac{6}{11}\)).

Чтобы найти отношение частей боковой поверхности отсеченного и усеченного конусов, нужно найти соответствующие образованные площади боковых поверхностей.

Боковая поверхность отсеченного конуса равна сумме площадей двух трапеций. Площадь каждой трапеции может быть найдена по формуле:

\[S = \frac{(a+b)h}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, \(h\) - высота.

Так как высота боковой поверхности отсеченного конуса равна \(h\), а длины оснований будут равны площадям этих оснований, получим:

\[S_1 = \frac{(S_1 + S_2)h}{2}\]

Аналогично, боковая поверхность усеченного конуса также является трапецией, площадь которой может быть найдена таким же образом. Длины оснований будут равны площадям этих оснований, что даст нам:

\[S_2 = \frac{(S_2 + S_3)(\frac{6}{11}h)}{2}\]

Теперь у нас есть два уравнения для площадей боковых поверхностей отсеченного и усеченного конусов. Давайте их решим и найдем нужное отношение.

Решая первое уравнение относительно \(S_1\) получим:

\[2S_1 = (S_1 + S_2)h\]
\[2S_1 = S_1h + S_2h\]
\[S_1 = \frac{S_2h}{2-h}\]

Теперь решим второе уравнение относительно \(S_2\):

\[2S_2 = (S_2 + S_3)\frac{6}{11}h\]
\[2S_2 = S_2\frac{6}{11}h + S_3\frac{6}{11}h\]
\[S_2 = \frac{S_3\frac{6}{11}h}{2-\frac{6}{11}h}\]

Теперь, чтобы найти нужное отношение, подставим выражение для \(S_2\) в формулу для \(S_1\):

\[S_1 = \frac{(\frac{S_3\frac{6}{11}h}{2-\frac{6}{11}h})h}{2-h}\]

Теперь у нас есть выражение для площади боковой поверхности отсеченного конуса \(S_1\) в терминах площади боковой поверхности усеченного конуса \(S_3\). Теперь можно найти нужное отношение:

\[\frac{S_1}{S_3} = \frac{\frac{(\frac{S_3\frac{6}{11}h}{2-\frac{6}{11}h})h}{2-h}}{S_3}\]

Cократим \(S_3\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{S_1}{S_3} = \frac{\frac{\frac{6}{11}h}{2-\frac{6}{11}h}h}{1}\]

\[= \frac{\frac{6h}{11(2-\frac{6}{11}h)}}{1}\]

\[= \frac{\frac{6h}{2-\frac{6}{11}h}}{1}\]

\[= \frac{6h}{2-\frac{6}{11}h}\]

Итак, отношение части боковой поверхности отсеченного конуса к боковой поверхности усеченного конуса составляет \(\frac{6h}{2-\frac{6}{11}h}\).