Необходимо найти площадь фигуры, которая представлена на рисунке и ограничена четырьмя окружностями с центрами в углах

Поющий_Хомяк_6351

26

Конечно, я помогу вам найти площадь этой фигуры. Приступим!

Давайте начнем с определения формы и размеров данной фигуры. Мы имеем единичный квадрат с четырьмя окружностями, каждая из которых имеет свой центр в угле квадрата. Чтобы найти площадь этой фигуры, нам нужно разбить её на более простые фигуры, для которых мы знаем формулы для вычисления площади.

Заметим, что фигура можно разделить на восемь секторов окружностей, отсекая их от квадрата. Важным фактом является то, что каждый из этих секторов имеет центральный угол в \(90^\circ\), поскольку окружности радиусом \(1\) описаны вокруг квадрата.

Теперь нам нужно найти площадь одного сектора. Формула для площади сектора окружности состоит из сразу двух частей: площади треугольника и площади сектора окружности.

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины основания и высоты. В нашем случае, длина основания равна радиусу окружности, то есть \(1\), и высота — также равна радиусу окружности, то есть \(1\). Таким образом, площадь одного треугольника равна \(\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}\).

Что касается площади сектора окружности, она зависит от центрального угла сектора. В нашем случае, угол каждого сектора равен \(90^\circ\), то есть четверть полного круга. Площадь четверти круга равна четверти общей площади круга. Площадь круга можно найти по формуле \(\pi r^2\), где \(r\) — радиус, в нашем случае тоже равен \(1\). Таким образом, площадь одного сектора составляет \(\frac{1}{4} \times \pi \times 1^2 = \frac{\pi}{4}\).

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника и площадь сектора, мы можем найти площадь одного сектора окружности путем сложения этих двух величин: \(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2 + \pi}{4}\).

Наконец, у нас есть восемь таких секторов. Чтобы найти площадь всей фигуры, мы умножаем площадь одного сектора на количество секторов: \(\frac{2 + \pi}{4} \times 8 = 2 + 2\pi\).

Таким образом, площадь данной фигуры, ограниченной четырьмя окружностями с центрами в углах единичного квадрата, равна \(2 + 2\pi\).

Надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять, как мы получили этот ответ. Если у вас возникнут еще вопросы — не стесняйтесь задавать!