Необходимо найти решение следующего уравнения: что равно нулю, x в третьей степени минус x. А также решить другое

Yakobin

8

Для решения первого уравнения, нам необходимо найти значения x, при которых уравнение \(x^3 - x = 0\) равно нулю.

Шаг 1: Факторизация
Прежде чем приступить к решению, попробуем факторизовать уравнение. Заметим, что \(x\) является общим множителем в обоих слагаемых, поэтому мы можем вынести его за скобку:
\(x(x^2 - 1) = 0\).

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Чтобы весь произведение было равно нулю, один из множителей или оба должны быть равны нулю.

Шаг 2: Решение первого множителя
Первый множитель, \(x\), равен нулю при \(x = 0\).

Шаг 3: Решение второго множителя
Второй множитель, \(x^2 - 1\), равен нулю при \(x^2 = 1\). Чтобы найти значения x, возвести оба выражения в квадрат.

\(x^2 = 1\) возводим в квадрат:
\((x^2)^2 = (1)^2\),
\(x^4 = 1\)

Таким образом, мы получили квадратное уравнение \(x^4 = 1\). Возведем обе части уравнения в степень 1/4, чтобы избавиться от степени 4, и получим:

\(x = \pm \sqrt[4]{1}\).

Так как мы берем корень четвертой степени, мы получим два возможных значения для x: \(x = 1\) и \(x = -1\).

Таким образом, уравнение \(x^3 - x = 0\) имеет три решения: \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = -1\).

Теперь перейдем ко второму уравнению \(x^3 + x^2 = 0\).

Шаг 1: Факторизация
Мы не можем просто вынести общий множитель \(x\) из обоих слагаемых, поэтому попробуем применить метод группировки. Разделим уравнение на \(x^2\):

\(\frac{x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} = \frac{0}{x^2}\),
\(x + 1 = 0\).

Теперь мы получили линейное уравнение, которое мы можем решить.

Шаг 2: Решение уравнения
Вычитаем 1 с обеих сторон уравнения:
\(x + 1 - 1 = 0 - 1\),
\(x = -1\).

Таким образом, уравнение \(x^3 + x^2 = 0\) имеет одно решение: \(x = -1\).