Необходимо подтвердить, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях любого параллелограмма, вдвое больше

Елена

29

Конечно! Давайте рассмотрим параллелограмм ABCD, для которого нужно подтвердить, что площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях AC и BD, вдвое больше площади параллелограмма ABCD.

Рассмотрим параллелограмм ABCD:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{A} & \text{B} \\
\hline
\text{D} & \text{C} \\
\hline
\end{array}
\]

Заметим, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Теперь, чтобы доказать, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях AC и BD, вдвое больше площади параллелограмма ABCD, нам потребуется использовать следующие факты:

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне.

2. Диагонали параллелограмма делят его на два треугольника равной площади.

Сначала найдем площадь параллелограмма ABCD. Пусть d1 и d2 - длины диагоналей AC и BD соответственно, а h - высота, проведенная к основанию AB (или CD). Тогда площадь параллелограмма ABCD будет равна:

\[S_{ABCD} = AB \cdot h = BC \cdot h = d1 \cdot h\]

Теперь рассмотрим параллелограмм, построенный на диагоналях AC и BD:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{A} & \text{B} \\
\hline
\text{D} & \text{C} \\
\hline
\end{array}
\]

Диагонали AC и BD делят этот параллелограмм на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и DOA. Заметим, что каждый из этих треугольников равной площади, поскольку имеет общую высоту и одну из сторон равную диагонали параллелограмма ABCD.

Теперь найдем площадь параллелограмма, построенного на диагоналях AC и BD. Пусть S - эта площадь. Очевидно, что площадь этого параллелограмма равна сумме площадей треугольников AOB, BOC, COD и DOA. Поэтому:

\[S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}\]

Так как все эти треугольники равной площади, мы можем записать:

\[S = 4 \cdot S_{AOB}\]

Давайте выразим площадь треугольника AOB через длины диагоналей AC и BD.
Заметим, что треугольник AOB - это прямоугольный треугольник, так как стороны AO и BO являются радиусами кругов, описанных вокруг треугольников AOD и BOC соответственно. Поэтому:

\[(S_{AOB})^2 = (AO \cdot BO)^2 = (d1 \cdot d2)^2\]

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на диагоналях AC и BD, равна:

\[S = 4 \cdot (S_{AOB}) = 4 \cdot (d1 \cdot d2)^2\]

А площадь параллелограмма ABCD равна:

\[S_{ABCD} = d1 \cdot h\]

Теперь нужно показать, что \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot S\).
Для этого сравним два выражения:

\[\frac{1}{2} \cdot S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (d1 \cdot d2)^2 = 2 \cdot (d1 \cdot d2)^2\]

Мы видим, что выражение \(2 \cdot (d1 \cdot d2)^2\) является удвоенной площадью параллелограмма ABCD:

\(\frac{1}{2} \cdot S = 2 \cdot (d1 \cdot d2)^2\)

Следовательно, мы доказали, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях AC и BD, вдвое больше площади параллелограмма ABCD:

\(S = 2 \cdot S_{ABCD}\)