Нужно подтвердить верность утверждения 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/16

Morskoy_Putnik_2536

56

Чтобы подтвердить верность утверждения о сумме ряда \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{16}\), мы должны вычислить эту сумму и проверить, сходится ли ряд к конечному числу или расходится.

Давайте вычислим сумму этого ряда пошагово:

Шаг 1: Найдем десять первых членов ряда, чтобы увидеть, как они изменяются:
\[
1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}
\]

Шаг 2: Продолжим добавлять члены ряда до \(1/11\), \(1/12\), и так далее, пока не достигнем \(1/16\).

Шаг 3: Теперь сложим все члены ряда, чтобы найти сумму:

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}
\]

Продолжим сложение и упростим выражение:

\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{15} + \frac{1}{14} + \frac{1}{13} + \frac{1}{12} + \frac{1}{11} + \frac{1}{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1
\]

После сложения всех членов получаем:

\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{15} + \frac{1}{14} + \frac{1}{13} + \frac{1}{12} + \frac{1}{11} + \frac{1}{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = 1.8197
\]

Таким образом, сумма данного ряда равна 1.8197.

Это позволяет нам заключить, что утверждение о сумме ряда \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{16}\) является верным. Но как вы можете видеть из расчета, сумма не равна точно 2, как могло бы показаться на первый взгляд. Это явление известно как гармонический ряд, который сходится к бесконечности, но его сумма ограничена. В данном случае, сумма ограничена примерно 1.8197.