Каким количеством нулей заканчивается результат умножения всех четных натуральных чисел от 18 до 68 включительно?

Taras

65

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Сначала нам нужно найти произведение всех четных натуральных чисел от 18 до 68.

Заметим, что у каждого четного числа есть фактор 2, потому что они все делятся на 2 без остатка.

Таким образом, чтобы найти количество нулей в конце результата, нам нужно найти, сколько раз число 10 (которое равно \(2 \times 5\)) входит в это произведение.

Теперь посмотрим на каждое четное число в интервале от 18 до 68.

18 = \(2 \times 3\)
20 = \(2 \times 2 \times 5\)
22 = \(2 \times 11\)
...
66 = \(2 \times 3 \times 11\)
68 = \(2 \times 2 \times 17\)

Мы заметили, что каждое четное число может быть записано в виде произведения степеней двойки и других простых чисел. Из этих факторизаций видно, что количество пятерок в произведении всегда будет меньше, чем количество двоек.

Поэтому нам нужно сосредоточиться на количестве степеней двойки в произведении чисел от 18 до 68.

Определим, сколько степеней двойки есть в каждом числе:

18 = \(2 \times 3\) (одна степень двойки)
20 = \(2^2 \times 5\) (две степени двойки)
22 = \(2 \times 11\) (одна степень двойки)
...
66 = \(2 \times 3 \times 11\) (одна степень двойки)
68 = \(2^2 \times 17\) (две степени двойки)

Теперь посчитаем количество степеней двойки, которое получается при умножении всех чисел:

1 степень: 18, 22, 24, 26, 30, 34, 36, 38, 42, 46, 48, 50, 54, 58, 60, 62, 66
2 степени: 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56, 64, 68

Теперь мы можем подсчитать общее количество степеней двойки:

1 степень: 17 чисел
2 степени: 9 чисел

Таким образом, общее количество нулей в конце результата будет равно количеству двоек, которые входят в произведение чисел от 18 до 68.

Количество двоек, или степеней двойки, равно 17 + 2 \times 9 = 17 + 18 = 35.

Таким образом, результат умножения всех четных натуральных чисел от 18 до 68 заканчивается 35 нулями.