Обчислити значення косинусу кута А в трикутнику АВС, якщо координати точок А, В і С дорівнюють: А(-1;2), В(3;7

Zvezdnaya_Tayna

67

Для решения этой задачи нам понадобятся знания из тригонометрии и координатной геометрии. Начнем с того, что определим длины сторон треугольника АВС с помощью координатных формул расстояния между двумя точками на плоскости.

Для нахождения длины стороны АВ, используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
Подставим координаты точек А и В:
\[AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\]

Аналогично, найдем длины сторон ВС и СА:
\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}\]
\[CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти косинус угла А, используем теорему косинусов:
\[cos(A) = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot CA}\]
Подставим найденные значения:
\[cos(A) = \frac{(\sqrt{68})^2 + (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{41})^2}{2 \cdot \sqrt{68} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{68 + 18 - 41}{6\sqrt{34}} = \frac{45}{6\sqrt{34}} = \frac{15}{2\sqrt{34}} = \frac{15\sqrt{34}}{68}\]

Таким образом, значение косинуса угла А в треугольнике АВС равно \(\frac{15\sqrt{34}}{68}\).