Один моль кислорода (μ = 32 г/моль) находится в сосуде под поршнем. Длина свободного пути молекул равна

Савелий

6

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться соотношением между средней квадратичной скоростью молекул газа и их длиной свободного пробега.

Средняя квадратичная скорость молекул газа определяется через их температуру (T) и молярную массу (μ) следующим образом:

\[v_1 = \sqrt{{\frac{{3kT}}{{μ}}}} \qquad (1)\]

где v1 - скорость молекул газа при исходной температуре T.

Здесь k - постоянная Больцмана, равная примерно 1,38 × 10-23 Дж/К.

Связь между средней квадратичной скоростью молекул и их длиной свободного пути (λ) определяется следующим соотношением:

\[λ = \frac{{v_1}}{{\sqrt{2} \cdot n \cdot \sigma}} \qquad (2)\]

где n - концентрация молекул газа (число молекул в единице объема) и σ - эффективный диаметр молекул газа.

Так как эффективный диаметр молекул остается неизменным, то отношение длин свободного пути будет равно отношению скоростей молекул газа:

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \frac{{v_2}}{{v_1}} \qquad (3)\]

где v2 - скорость молекул газа при измененной температуре (5T).

Используя формулы (1) и (2), а также соотношение (3), мы можем найти отношение, требуемое в задаче.

а) Отношение 4:

Из условия задачи, мы знаем, что T2 = T/5. Подставляя это значение в формулу (1), мы получим:

\[v_2 = \sqrt{{\frac{{3k(T/5)}}{{\mu}}}} = \frac{1}{{\sqrt{5}}}v_1\]

Теперь, используя соотношение (3), мы можем найти отношение длин свободного пути:

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \frac{{v_2}}{{v_1}} = \frac{{1}}{{\sqrt{5}}}\]

Таким образом, отношение длин свободного пути равно 1/√5 или приближенно 0,447.

б) Отношение 3:

Аналогичным образом, мы можем выразить скорость молекул газа при измененной температуре:

\[v_2 = \sqrt{{\frac{{3k(T/3)}}{{\mu}}}} = \frac{1}{{\sqrt{3}}}v_1\]

Используя соотношение (3), получаем:

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}\]

Отношение длин свободного пути равно 1/√3 или примерно 0,577.

в) Отношение 0,333:

\[v_2 = \sqrt{{\frac{{3k(T/0.2)}}{{\mu}}}} = \sqrt{{15}}v_1\]

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \sqrt{{15}}\]

Отношение длин свободного пути равно √15 или приближенно 3,873.

г) Отношение 5:

\[v_2 = \sqrt{{\frac{{3k(T/0.2)}}{{\mu}}}} = \sqrt{{15}}v_1\]

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \sqrt{{15}}\]

Отношение длин свободного пути равно √15 или примерно 3,873.

д) Отношение 0,20:

\[v_2 = \sqrt{{\frac{{3k(T/5)}}{{\mu}}}} = \frac{1}{{\sqrt{5}}}v_1\]

\[\frac{{λ_2}}{{λ_1}} = \frac{{1}}{{\sqrt{5}}}\]

Отношение длин свободного пути равно 1/√5 или приближенно 0,447.

Таким образом, ответы на каждый пункт задачи следующие:
а) 1/√5 или примерно 0,447;
б) 1/√3 или примерно 0,577;
в) √15 или примерно 3,873;
г) √15 или примерно 3,873;
д) 1/√5 или примерно 0,447.