Определить амплитуду а (в см) колебаний частицы, если на расстояниях x1=2 см и x2=10 cм от положения равновесия

Волшебник

46

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Запишем формулу для кинетической энергии \(E_k\) и потенциальной энергии упругой деформации \(E_{п}\):

\[E_{п} = \frac{1}{2}kx^2\]
\[E_k = \frac{1}{2}mv^2\]

Где \(k\) - жесткость пружины, \(m\) - масса частицы, \(x\) - амплитуда колебаний, \(v\) - скорость частицы.

Мы можем выразить жесткость пружины \(k\) из формулы для потенциальной энергии упругой деформации, подставив значение \(x\) и \(E_{п}\):

\[k = \frac{2E_{п}}{x^2}\]

Далее, с помощью формулы для кинетической энергии, можем вычислить массу частицы \(m\), подставив значение скорости \(v\) и \(E_k\):

\[m = \frac{2E_k}{v^2}\]

Теперь, имея значения для \(k\) и \(m\), можем вычислить амплитуду \(x\) колебаний, используя формулу для жесткости пружины:

\[x = \sqrt{\frac{2E_{п}}{k}}\]

Амплитуду колебаний \(x\) можно также выразить через массу \(m\) и скорость \(v\) с помощью формулы:

\[x = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}\]

Таким образом, у нас есть два пути для вычисления амплитуды колебаний \(x\). Рассчитаем значения по обеим формулам и сравним результаты:

1. Вычисление значения амплитуды колебаний \(x\) через жесткость \(k\):
\[x = \sqrt{\frac{2E_{п}}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{1}{2}kx^2}{k}} = \sqrt{x^2} = |x|\]

2. Вычисление значения амплитуды колебаний \(x\) через массу \(m\) и скорость \(v\):
\[x = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{1}{2}mv^2}{m}} = \sqrt{v^2} = |v|\]

Так как амплитуда колебаний представляет собой величину без знака, мы получаем, что \(x = |x| = |v|\).

Теперь, подставим значения \((x_1, x_2, v_1, v_2)\) и найдем максимальную амплитуду колебаний:

\(x_1 = 2\) см, \(x_2 = 10\) см, \(v_1 = 11\) см/c и \(v_2 = 7\) см/c.

Исходя из предыдущего вычисления, максимальная амплитуда колебаний будет равна \(x = |v| = |v_1 - v_2|\):

\(x = |v_1 - v_2| = |11 - 7| = |4| = 4\) см.

Ответ округляем до одного знака после точки:

Ответ: \(x = 4\) см.