Определить значения токов в каждом участке сложной электрической цепи (см. Рис. 2.24) при заданных значениях

Vesna

63

Для решения данной задачи, мы можем использовать законы Кирхгофа. Начнем с применения закона Кирхгофа для узлов, чтобы определить значения токов \(I_2\) и \(I_4\).

В узле A сумма входящих и исходящих токов должна быть равна 0:

\[I_1 + I_4 - I_2 = 0 \qquad (1)\]

Теперь, воспользуемся законом Кирхгофа для контуров в цепи. Воспользуемся контуром ABCDA и участком цепи ACB.

В контуре ABCDA сумма падений напряжения должна быть равна сумме электродвижущих сил (ЭДС) и падений напряжения на всех сопротивлениях:

\[e_1 - I_1 \cdot r_1 - I_2 \cdot (r_2 + r_4) = 0 \qquad (2)\]

На участке цепи ACB сумма падений напряжения должна быть равна ЭДС:

\[-I_2 \cdot r_2 + e_2 - I_3 \cdot r_3 = 0 \qquad (3)\]

И, наконец, внутри участка цепи ADC:

\[e_3 - I_3 \cdot r_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6) = 0 \qquad (4)\]

У нас есть четыре уравнения (1), (2), (3) и (4), и четыре неизвестных \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) и \(I_4\). Теперь, найдем значения этих неизвестных.

Решим систему уравнений методом подстановок.

Из уравнения (1) выразим \(I_1\):

\[I_1 = I_2 - I_4 \qquad (5)\]

Подставим \(I_1\) в уравнение (2):

\[e_1 - (I_2 - I_4) \cdot r1 - I_2 \cdot (r_2 + r_4) = 0\]

Упростим уравнение:

\[e_1 - I_2 \cdot r_1 + I_4 \cdot r_1 - I_2 \cdot r_2 - I_2 \cdot r_4 = 0\]

Или:

\[-I_2 \cdot (r_1 + r_2 + r_4) + I_4 \cdot r_1 = -e_1 \qquad (6)\]

Теперь, подставим выражение для \(I_1\) в уравнение (3):

\[-I_2 \cdot r_2 + e_2 - I_3 \cdot r_3 = 0\]

Или:

\[I_3 \cdot r_3 = e_2 - I_2 \cdot r_2 \qquad (7)\]

Наконец, из уравнения (4) выразим \(I_3\):

\[I_3 = \frac{{e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)}}{{r_3}} \qquad (8)\]

Теперь у нас есть система трех уравнений (5), (6), (7) и (8), с тремя неизвестными \(I_2\), \(I_3\) и \(I_4\). Решим ее для определения значений этих токов.

Подставим выражение для \(I_1\) из уравнения (5) в уравнения (6) и (7):

\[-I_2 \cdot (r_1 + r_2 + r_4) + I_4 \cdot r_1 = -e_1\]
\[-I_2 \cdot r_2 + e_2 - \frac{{e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)}}{{r_3}} \cdot r_3 = 0\]

Упростим уравнения:

\[-I_2 \cdot (r_1 + r_2 + r_4) + I_4 \cdot r_1 = -e_1 \qquad (9)\]
\[-I_2 \cdot r_2 + e_2 - (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) = 0 \qquad (10)\]

Теперь у нас есть двух уравнений с двумя неизвестными \(I_2\) и \(I_4\). Решим их для определения значений этих токов.

Из уравнения (9) выразим \(I_2\):

\[-I_2 \cdot r_2 = -e_2 + (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) - r_1 \cdot I_4\]

или:

\[I_2 = \frac{{-e_2 + (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) - r_1 \cdot I_4}}{{r_2}} \qquad (11)\]

Теперь, подставим \(I_2\) в уравнение (10):

\[-\frac{{-e_2 + (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) - r_1 \cdot I_4}}{{r_2}} \cdot r_2 + e_2 - (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) = 0\]

или:

\[-e_2 + (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) - r_1 \cdot I_4 + e_2 - (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) = 0\]

Упростим уравнение:

\[-r_1 \cdot I_4 = 0\]

или:

\[I_4 = 0\]

Теперь, когда \(I_4 = 0\), вернемся к уравнению (5) для определения значения \(I_1\):

\[I_1 = I_2 - I_4\]
\[I_1 = I_2 - 0\]
\[I_1 = I_2\]

Таким образом, мы определили, что \(I_1 = I_2 = \frac{{-e_2 + (e_3 - I_4 \cdot (r_5 + r_6)) - r_1 \cdot I_4}}{{r_2}}\)

Чтобы найти значения токов, подставим известные значения в эту формулу.