Определите ёмкость и сопротивление данного конденсатора, полную потребляемую мощность и период сигнала, основываясь

Skazochnyy_Fakir_3784

11

Даны мгновенные значения тока и напряжения в виде функций времени:

\(i = 0.72\sin(2198t + 50^\circ)\) A

\(u = 340\sin(2198t - 40^\circ)\) В

Для определения ёмкости и сопротивления конденсатора, полной потребляемой мощности и периода сигнала, мы сначала должны выразить их через ток и напряжение.

Для начала, определим амплитуду тока и напряжения. Амплитуда - это максимальное значение сигнала. В нашем случае:

\(I_{\max} = 0.72\) A (ампер)

\(U_{\max} = 340\) V (вольт)

Сопротивление конденсатора (R) и ёмкость (C) можно определить, используя формулу для импеданса (Z) в RLC-цепи:

\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]

где \(X_L\) - реактивное сопротивление индуктивности (L), \(X_C\) - реактивное сопротивление ёмкости (C):

\[X_L = 2\pi fL\]

\[X_C = \frac{1}{2\pi fC}\]

Здесь \(f\) - частота сигнала, \(L\) - индуктивность, \(C\) - ёмкость.

Так как \(X_C\) и \(X_L\) являются комплексными величинами, мы должны включить фазовый угол для каждого реактивного сопротивления. Для данной задачи фазовый угол содержится в аргументе синуса.

Теперь найдем фазовый угол для тока и напряжения:

Фазовый угол тока: \(\phi_i = 50^\circ\)

Фазовый угол напряжения: \(\phi_u = -40^\circ\)

Возьмем производную \(i\) по времени, чтобы получить выражение для напряжения на конденсаторе:

\[\frac{{di}}{{dt}} = -I_{\max} \omega \cos(\omega t + \phi_i)\]

где \(\omega = 2\pi f\) - угловая частота. Положительное знак перед амплитудой тока указывает на то, что ток опережает напряжение на \(90^\circ\) в фазовом смещении.

Напряжение на конденсаторе (\(v_c\)) можно определить, интегрируя ток:

\[v_c(t) = -\frac{1}{{\omega C}} \int i dt + v_c(0)\]

Учитывая, что \(i = I_{\max} \sin(\omega t + \phi_i)\), можно переписать это выражение:

\[v_c(t) = -\frac{{I_{\max}}}{{\omega C}} \cos(\omega t + \phi_i) + v_c(0)\]

Выразим \(v_c(0)\) через начальное значение напряжения на конденсаторе (\(V_c(0)\)). Подставляя \(t = 0\), получим:

\[v_c(0) = V_c(0) - \frac{{I_{\max}}}{{\omega C}} \cos(\phi_i)\]

Теперь мы можем найти ёмкость конденсатора:

\[C = -\frac{{I_{\max}}}{{\omega(V_c(0) - v_c(0))\cos(\phi_i)}}\]

Также, сопротивление конденсатора равно \(R = \frac{{U_{\max}}}{{I_{\max}}}\).

Полная потребляемая мощность (\(P\)) в RLC-цепи можно определить как произведение напряжения и тока:

\[P(T) = u(t)i(t)\]

где \(T\) - период сигнала.

Период сигнала (\(T\)) можно определить как обратное значение угловой частоты:

\[T = \frac{{2\pi}}{{\omega}}\]

Теперь мы имеем все необходимые формулы для определения ёмкости и сопротивления конденсатора, полной потребляемой мощности и периода сигнала. Подставьте значения, данные в задаче, в эти формулы, и вы получите окончательные значения.