Определите объем и площадь поверхности объекта, который образуется в результате вращения треугольника с длинами сторон

Жанна

56

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания из геометрии и формулы для нахождения объема и площади поверхности вращения. Давайте разберемся по шагам.

1. Вначале нам нужно найти высоту треугольника. Мы можем использовать формулу полупериметра треугольника и площади треугольника, чтобы найти высоту. Формула для нахождения площади треугольника \(S\) с полупериметром \(p\) и длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\) выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(p = \frac{a + b + c}{2}\) - полупериметр треугольника.

В нашем случае, длины сторон треугольника составляют 6 см, 25 см и 29 см, поэтому полупериметр будет:

\[p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30\]

Подставляем значения в формулу и находим площадь треугольника:

\[S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)}\]
\[S = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60\]

Таким образом, площадь поверхности треугольника равна 60 квадратных см.

2. Теперь мы можем приступить к нахождению объема и площади поверхности, образованной вращением этого треугольника вокруг оси.

Для объема объема вращения мы можем использовать формулу для объема цилиндра, умноженного на высоту:

\[V = \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус цилиндра (в нашем случае, это длина кратчайшей стороны треугольника, которая составляет 6 см), а \(h\) - высота треугольника (которую мы уже нашли - 60 см).

Подставляем значения и находим объем:

\[V = \pi \cdot 6^2 \cdot 60 = \pi \cdot 36 \cdot 60 = 2160\pi\]

Таким образом, объем образованного объекта равен \(2160\pi\) кубических см.

3. Чтобы найти площадь поверхности, мы можем использовать формулу для площади поверхности цилиндра:

\[A = 2\pi rh + 2\pi r^2\]

Подставляем значения и находим площадь поверхности:

\[A = 2\pi \cdot 6 \cdot 60 + 2\pi \cdot 6^2 = 720\pi + 72\pi = 792\pi\]

Таким образом, площадь поверхности образованного объекта равна \(792\pi\) квадратных см.

Итак, ответ на задачу: объем объекта, образованного вращением треугольника, равен \(2160\pi\) кубических см, а площадь поверхности равна \(792\pi\) квадратных см.