Определите радиус цилиндра r, с точностью до сотых, если цилиндр вписан в конус с образующей l = 10 см. Прямая

Белочка

30

Для решения этой задачи вспомним свойство вписанного цилиндра: прямая, соединяющая центр верхнего основания цилиндра с любой точкой на нижнем основании конуса, является перпендикуляром к этому основанию. Также, прямая, проходящая через вершину конуса и центр верхнего основания цилинда, образует прямой угол с основанием конуса.

Поскольку высота конуса неизвестна, но мы знаем угол между образующей конуса и высотой конуса, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения высоты. Обозначим высоту конуса через \(h\).

Так как прямая, проведенная через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует с основанием конуса угол в 45°, и прямая, проходящая через вершину конуса и центр верхнего основания цилинда, образует прямой угол с основанием конуса, мы можем сказать, что треугольник, состоящий из основания конуса, высоты и радиуса цилиндра, образует прямоугольный треугольник.

Таким образом, мы можем использовать тангенс для нахождения высоты:

\[\tan(30^\circ) = \frac{h}{r}\]

Решим это уравнение относительно \(h\), зная, что \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[h = \frac{\sqrt{3} \cdot r}{3}\]

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения радиуса \(r\):

\[l^2 = r^2 + h^2\]

Подставим значение \(h\) и значение \(l\) в это уравнение:

\[10^2 = r^2 + \left(\frac{\sqrt{3} \cdot r}{3}\right)^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[100 = r^2 + \frac{r^2}{3}\]

Умножим на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[300 = 3r^2 + r^2\]

Сложим члены с одинаковыми степенями \(r\):

\[300 = 4r^2\]

Разделим обе части уравнения на 4:

\[75 = r^2\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt{75} \approx 8.66\]

Таким образом, радиус цилиндра \(r\) с точностью до сотых составляет приблизительно 8.66 см.